Example Question - quadratic
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the Nature of Functions
<p>Given the function \( f(x) = x^2 - 5 \).</p> <p>To determine if the function has real roots, we can find the discriminant.</p> <p>The discriminant \( D \) is calculated as \( D = b^2 - 4ac \), where \( a = 1, b = 0, c = -5 \).</p> <p>Thus, \( D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 20 \).</p> <p>Since \( D > 0 \), the function has two distinct real roots.</p> <p>To find the roots, we can use the quadratic formula \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).</p> <p>So, \( x = \frac{-0 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{\pm 2\sqrt{5}}{2} = \pm \sqrt{5} \).</p> <p>Therefore, the roots are \( x = \sqrt{5} \) and \( x = -\sqrt{5} \).</p>
Determining Polynomial Expressions
<p>(a) \( x^2 - 5 \) is a quadratic expression because it can be written in the form \( ax^2 + bx + c \) with \( a = 1, b = 0, c = -5 \).</p> <p>(b) \( 2x^2 + x \) is a quadratic expression because it can be expressed as \( ax^2 + bx + c \) with \( a = 2, b = 1, c = 0 \).</p> <p>(c) \( 3x^2 - 3x + 1 \) is a quadratic expression since it conforms to the standard form \( ax^2 + bx + c \) with \( a = 3, b = -3, c = 1 \).</p> <p>(d) \( x^4 - 2x - 1 \) is not a quadratic expression as it has a degree of 4, which exceeds 2.</p>
Understanding Functions and Graphs
<p>Để giải bài toán này, ta cần xác định tính chất của hàm số và đồ thị của nó.</p> <p>Câu 1: Xét hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \).</p> <p>A. Đoạn đồ thị \( P \) của hàm số này là parabol, có đỉnh tại \( \left( \frac{-b}{2a}, \frac{\Delta}{4a} \right) \).</p> <p>B. Đồ thị của hàm số này là \(\{ \frac{b}{a} - \frac{\Delta}{4a} \}\) với \(\Delta = b^2 - 4ac\).</p> <p>C. Giá trị của hàm số tại các điểm này được xác định bởi công thức trên.</p> <p>Câu 2: Tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( y = \frac{3x-1}{2x-3} \) cần xác định điều kiện để mẫu khác không bằng 0.</p> <p>D = { x | 2x - 3 \neq 0 } tức là \( x \neq \frac{3}{2} \).</p>
Solving a Linear Equation
<p>\(2x^2 - 10356 = 99800\)</p> <p>Đầu tiên, chúng ta cần chuyển phương trình về dạng chuẩn của phương trình bậc hai:</p> <p>Đưa cả hai vế về cùng một phía:</p> <p>\(2x^2 - 10356 - 99800 = 0\)</p> <p>Giải phương trình bậc hai:</p> <p>\(2x^2 - 110156 = 0\)</p> <p>Chia cả hai vế cho 2:</p> <p>\(x^2 - 55078 = 0\)</p> <p>Thêm 55078 vào cả hai vế:</p> <p>\(x^2 = 55078\)</p> <p>Lấy căn bậc hai cho cả hai vế:</p> <p>\(x = \pm \sqrt{55078}\)</p> <p>Vậy phương trình có hai nghiệm là:</p> <p>\(x = \sqrt{55078}\) hoặc \(x = -\sqrt{55078}\)</p>
Polynomial Simplification
<p>La ecuación proporcionada necesita ser simplificada. El proceso implica combinar términos semejantes y simplificar las fracciones. La ecuación está dada por:</p> <p>\[ \frac{{5a^3 - 20ab + 40b^3 - 30a + 20b}}{{8}} - \frac{{2a^3+40ab - 5b^3}}{{5}} \]</p> <p>Para simplificar esta expresión, multiplicamos cada término de la primera fracción por \( \frac{5}{5} \) y cada término de la segunda fracción por \( \frac{8}{8} \) para obtener denominadores comunes, que en este caso será 40.</p> <p>\[ \frac{{5(5a^3 - 20ab + 40b^3 - 30a + 20b)}}{{40}} - \frac{{8(2a^3+40ab - 5b^3)}}{{40}} \]</p> <p>Expandimos y simplificamos:</p> <p>\[ \frac{{25a^3 - 100ab + 200b^3 - 150a + 100b - 16a^3 - 320ab + 40b^3}}{{40}} \]</p> <p>Combinamos términos semejantes:</p> <p>\[ \frac{{(25a^3 - 16a^3) + (- 100ab - 320ab) + (200b^3 + 40b^3) - 150a + 100b}}{{40}} \]</p> <p>\[ \frac{{9a^3 - 420ab + 240b^3 - 150a + 100b}}{{40}} \]</p> <p>Finalmente, simplificamos los términos dividiendo cada uno por 40:</p> <p>\[ \frac{{9a^3}}{{40}} - \frac{{420ab}}{{40}} + \frac{{240b^3}}{{40}} - \frac{{150a}}{{40}} + \frac{{100b}}{{40}} \]</p> <p>\[ \frac{{9a^3}}{{40}} - 10.5ab + 6b^3 - \frac{{15a}}{{8}} + \frac{{5b}}{{2}} \]</p> <p>Y esta es la forma simplificada de la ecuación.</p>
Factoring Algebraic Expressions
<p>Phần lớn của bức ảnh bị cắt đi, tuy nhiên, dựa trên phần còn lại, ta thấy một bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp IPP. Ta sẽ giải phần b) như một ví dụ:</p> <p>\[ b) \quad 4x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 5x + 2x - 2 \]</p> <p>Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử:</p> <p>\[ (4x^3 - 4x^2) + (4x^2 - 5x) + (2x - 2) \]</p> <p>Sau đó, ta phân tích từng nhóm:</p> <p>\[ = 4x^2(x - 1) + x(4x - 5) + 2(x - 1) \]</p> <p>Nhận thấy rằng cả ba nhóm đều có nhân tử chung là \((x - 1)\), ta tiếp tục nhóm hạng tử:</p> <p>\[ = (4x^2 + x + 2)(x - 1) \]</p> <p>Kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phần b) là:</p> <p>\[ 4x^3 - 4x^2 - 5x + 2 = (4x^2 + x + 2)(x - 1) \]</p>
Factoring Polynomial Expressions
<p>Đối với phép phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta sẽ giải mỗi câu hỏi (a), (b), và (c) một cách riêng biệt:</p> <p>Câu a):</p> <p>Phân tích đa thức \(a^4 - 6a^2 + 12a - 8\):</p> <p>Bước 1: Đặt \(x = a^2\) để đa thức trở thành một phương trình bậc hai theo \(x\).</p> <p>Bước 2: Viết lại đa thức với biến mới: \(x^2 - 6x + 12a - 8\).</p> <p>Bước 3: Áp dụng phương pháp phân tích đa thức bậc hai thông thường.</p> <p>Dựa trên việc tìm hai số mà tổng của các số đó bằng hệ số của \(x\) (ở đây là -6) và tích của chúng bằng số hạng tự do (ở đây là \(12a - 8\)), tìm được \(x^2 - 2x - 4x + 8 + 4a - 8 = (x - 4)(x - 2) + 4a\).</p> <p>Bước 4: Kết luận và thay \(x = a^2\) trở lại: \((a^2 - 4)(a^2 - 2) + 4a\).</p> <p>Câu b) và cầu c) làm tương tự, nhưng do không thấy rõ, không thể tiếp tục phân tích.</p>
Expanding and Simplifying Polynomial Expressions
<p>Simplify the given expressions:</p> <p>\textbf{For the 2/ expression:}</p> <p>(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24</p> <p>=(x^2 + 5x+ 6)(x^2 + 7x + 12) - 24</p> <p>=(x^4 + 12x^3 + 46x^2 + 72x + 24) - 24</p> <p>=x^4 + 12x^3 + 46x^2 + 72x</p> <p>\textbf{For the 4/ expression:}</p> <p>(x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x -12</p> <p>=(x^4 + 2x^3 + x^2) + 4x^2 + 4x -12</p> <p>=x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x -12</p> <p>\textbf{For the 6/ expression:}</p> <p>(x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a^4</p> <p>=(x^2 + 3ax + 2a^2)(x^2 + 7ax + 12a^2) + a^4</p> <p>=(x^4 + 10ax^3 + (3*12+7*2)a^2x^2 + (3*7+2*12)ax^3 + 24a^4) + a^4</p> <p>=x^4 + 10ax^3 + 38a^2x^2 + 33a^3x + 25a^4</p> <p>\textbf{For the 8/ expression:}</p> <p>(x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) + 2</p> <p>=(x^4 + 2x^3 + x^2) + 3x^2 + 3x + 2</p> <p>=x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 2</p> <p>\textbf{For the 10/ expression:}</p> <p>(x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20</p> <p>=(x^4 + 4x^3 + 4x^2) + 9x^2 + 18x + 20</p> <p>=x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 18x + 20</p> <p>\textbf{For the 12/ expression:}</p> <p>(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16</p> <p>=(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 14x + 48) + 16</p> <p>=(x^4 + 20x^3 + 144x^2 + 384x + 128) + 16</p> <p>=x^4 + 20x^3 + 144x^2 + 384x + 144</p>
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com