Example Question - negative exponent
Here are examples of questions we've helped users solve.
Algebraic Fraction Simplification
<p>Para resolver la fracción algebraica dada, se sigue el proceso de simplificación y división de polinomios:</p> <p>El numerador es $t - t^3$ y el denominador es $t + 5$.</p> <p>Extraemos t como factor común en el numerador:</p> <p>$$ t - t^3 = t(1 - t^2) $$</p> <p>Ahora factorizamos la expresión entre paréntesis como una diferencia de cuadrados:</p> <p>$$ 1 - t^2 = (1 - t)(1 + t) $$</p> <p>Por lo tanto, el numerador se convierte en:</p> <p>$$ t(1 - t)(1 + t) $$</p> <p>El denominador permanece igual, por lo que la fracción completa es:</p> <p>$$ \frac{t(1 - t)(1 + t)}{t + 5} $$</p> <p>No se pueden cancelar términos entre el numerador y el denominador, ya que no hay factores comunes, por lo que esta es la forma simplificada de la fracción algebraica. El paso final es aplicar el exponente negativo al resultado que es equivalente a tomar el recíproco de la fracción:</p> <p>$$ \left(\frac{t(1 - t)(1 + t)}{t + 5}\right)^{-1} = \frac{t + 5}{t(1 - t)(1 + t)} $$</p> <p>La expresión final es la fracción con el exponente aplicado.</p>
Simplification of Radical Expressions with Negative Exponent
\[ (3 \sqrt[3]{m^6n^3})(4 \sqrt[3]{m^6n^2})^{-\frac{1}{2}} = 3 \sqrt[3]{m^6n^3} \cdot (4 \sqrt[3]{m^6n^2})^{-\frac{1}{2}} \] \[ = 3 \sqrt[3]{m^6n^3} \cdot \left( \frac{1}{4 \sqrt[3]{m^6n^2}} \right)^{\frac{1}{2}} \] \[ = 3 \sqrt[3]{m^6n^3} \cdot \left( \frac{1}{2 \sqrt[3]{m^3n}} \right) \] \[ = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{m^6n^3}}{\sqrt[3]{m^3n}} \] \[ = \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{m^6n^3}{m^3n}} \] \[ = \frac{3}{2} \sqrt[3]{m^3n^2} \] \[ = \frac{3}{2}mn^{\frac{2}{3}} \]
Exponentiation of Fractions with Negative Exponent
Para resolver la expresión \(\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}}\), sigue estos pasos: 1. Primero, recuerda que elevar un número a un exponente negativo es equivalente a tomar el recíproco del número y cambiar el signo del exponente a positivo. Es decir, \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\). Entonces, la expresión se convierte en: \(\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}}\) 2. Ahora vamos a trabajar con la parte del exponente \(\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}\). Para elevar una fracción a una potencia fraccionaria, elevamos el numerador y el denominador por separado: \(\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}} = \left(16^{\frac{5}{4}}\right) / \left(81^{\frac{5}{4}}\right)\) 3. Las potencias fraccionarias pueden descomponerse en una raíz y una potencia. Por ejemplo, \(a^{\frac{m}{n}}\) es lo mismo que \(\sqrt[n]{a^m}\). En este caso, \(a = 16\) y \(a = 81\), \(m = 5\) y \(n = 4\). \(\left(16^{\frac{5}{4}}\right) / \left(81^{\frac{5}{4}}\right) = \left(\sqrt[4]{16^5}\right) / \left(\sqrt[4]{81^5}\right)\) 4. Sabemos que \(\sqrt[4]{16} = 2\) y \(\sqrt[4]{81} = 3\), porque \(2^4 = 16\) y \(3^4 = 81\). Entonces, elevamos 2 y 3 a la quinta potencia: \(\left(\sqrt[4]{16^5}\right) / \left(\sqrt[4]{81^5}\right) = \left(2^5\right) / \left(3^5\right)\) 5. Calculamos \(2^5 = 32\) y \(3^5 = 243\). \(\left(2^5\right) / \left(3^5\right) = \frac{32}{243}\) 6. Finalmente, volvemos a la expresión original donde teníamos el recíproco: \(\frac{1}{\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\frac{32}{243}}\) 7. Tomamos el recíproco de \(\frac{32}{243}\), que es \(\frac{243}{32}\). Por lo tanto, el resultado de la expresión original \(\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}}\) es \(\frac{243}{32}\).
Fractional Exponential Calculation with Negative Exponent
Para resolver esta operación, primero debemos entender que tenemos una fracción (\(\frac{16}{81}\)) elevada a un exponente negativo (-5). La propiedad de los exponentes nos dice que una base fraccionaria \(a/b\) elevada a un exponente negativo -n es igual a la base invertida \(b/a\) elevada al exponente positivo n. En este caso, la base fraccionaria es \(\frac{16}{81}\), y el exponente al que está elevada es -5. Invertimos la fracción para obtener \(\frac{81}{16}\) y cambiamos el signo del exponente a positivo: \[(\frac{16}{81})^{-5} = (\frac{81}{16})^{5}\] Ahora, calcularemos \(\frac{81}{16}\) al exponente 5, lo cual significa multiplicar \(\frac{81}{16}\) por sí mismo 5 veces: \[\left(\frac{81}{16}\right)^5 = \frac{81^5}{16^5}\] Realizamos la potenciación de 81 y 16 por separado: \(81^5\) (81 multiplicado por sí mismo 5 veces) y \(16^5\) (16 multiplicado por sí mismo 5 veces). \(81^5 = 81 \times 81 \times 81 \times 81 \times 81\) \(16^5 = 16 \times 16 \times 16 \times 16 \times 16\) Como esta operación implica cálculos extensos, se pueden usar calculadoras para obtener los resultados: \(81^5 = 3,486,784,401\) \(16^5 = 1,048,576\) Entonces: \(\frac{81^5}{16^5} = \frac{3,486,784,401}{1,048,576}\) Debido a la complejidad de estos números, es habitual dejar la respuesta en términos de la fracción no simplificada o como una potencia, pero si quieres obtener el resultado decimal exacto, se puede dividir 3,486,784,401 por 1,048,576, lo cual da: \(\frac{3,486,784,401}{1,048,576} \approx 3323,0625\) Así que, \((\frac{16}{81})^{-5}\) es aproximadamente igual a 3323,0625.
Evaluating Equivalent Values of Exponents
The question is asking which of the following is not equivalent to \(2^{-3}\). \(2^{-3}\) can be rewritten as \(\frac{1}{2^3}\), which equals \(\frac{1}{8}\). Now let's evaluate each option: (1) \( \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \), which is equivalent to \(2^{-3}\). (2) \( -6 \) is clearly not equivalent to \(2^{-3}\), as \(2^{-3}\) is a positive fraction less than \(1\). (3) \( 0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \), which is equivalent to \(2^{-3}\). (4) \( \frac{1}{8} \) is exactly what \(2^{-3}\) equals. Therefore, the number that is not equivalent to \(2^{-3}\) is option (2), \( -6 \).
Converting Decimal to Scientific Notation
To express the number 0.0736 in scientific notation, you need to rewrite it as a product of a number between 1 and 10 and a power of 10. Move the decimal point so that there is one non-zero digit to the left of the decimal. For the number 0.0736, you move the decimal two places to the right to get 7.36. This is the number between 1 and 10. Now, record the number of places you moved the decimal point as a negative exponent of 10 (because the original number is less than 1). Since you moved the decimal two places, the exponent will be -2. So, the number 0.0736 in scientific notation is: \[7.36 \times 10^{-2}\]
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