Question - Finding Minimum Value of a Quadratic Expression
Solution:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ P = \frac{x^4 - 2kx^2 + 2025}{x^2} $$ với $$x \neq 0$$, ta có thể thực hiện các bước sau:1. Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho $$x^2$$, ta được:\[ P = \frac{x^4}{x^2} - 2k\frac{x^2}{x^2} + \frac{2025}{x^2} \]\[ P = x^2 - 2k + \frac{2025}{x^2} \]2. Thêm và trừ $$k^2$$ để viết biểu thức dưới dạng bình phương của một biểu thức hoàn chỉnh:\[ P = x^2 - 2k + k^2 + \frac{2025}{x^2} - k^2 \]\[ P = (x^2 - k)^2 + \frac{2025}{x^2} - k^2 \]3. Đặt $$ t = x^2 $$ (đây là phép đặt ẩn phụ, lưu ý rằng $$ t > 0 $$ vì $$ x \neq 0 $$ và $$ t $$ là bình phương của $$ x $$), ta có:\[ P = (t - k)^2 + \frac{2025}{t} - k^2 \]\[ P = t^2 - 2kt + k^2 + \frac{2025}{t} - k^2 \]\[ P = t^2 - 2kt + \frac{2025}{t} \]4. Biểu thức $$ P $$ trên có thể được viết lại dưới dạng tổng của một bình phương và một nghịch đảo của $$ t $$. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) để tìm giá trị nhỏ nhất của $$ P $$:\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{2025}{t}} \]\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2\sqrt{2025} \]\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2 \cdot 45 \]\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 90 \]5. Như vậy, ta có:\[ P = t^2 - 2kt + \frac{2025}{t} \geq 90 - 2kt \]Nhớ rằng $$ t = x^2 $$, giá trị nhỏ nhất của $$ P $$ sẽ đạt được khi cả $$ t^2 $$ và $$ \frac{2025}{t} $$ cùng đạt giá trị nhỏ nhất trong bất đẳng thức AM-GM, tức là khi chúng bằng nhau:\[ t^2 = \frac{2025}{t} \]\[ t^3 = 2025 \]\[ t = \sqrt[3]{2025} \]\[ t = 13 \text{ (vì 13*13*13 = 2197, giá trị gần nhất và nhỏ hơn 2025)} \]Và khi $$ t = 13 $$, tức $$ x^2 = 13 $$, ta có $$ P \geq 90 - 2k(13) $$. Để $$ P $$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $$ k $$ phải bằng 0.Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ P $$ là:\[ P_{\text{min}} = 90 - 2k(13) = 90 \]Khi $$ k = 0 $$ và $$ x^2 = 13 $$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com