Example Question - milena and kevin
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Analyzing Different Formulas for Building Cube Walls
Lassen Sie uns das Problem lösen, indem wir die Informationen aus dem Bild nutzen: Das Bild zeigt zwei verschiedene Arten, Mauern aus Würfeln zu bauen. Milena und Kevin haben unterschiedliche Ansichten zur Berechnung der Anzahl der Würfel in diesen Mauern. Milena verwendet die Formel: \(2n + k + 1\) Kevin verwendet die Formel: \(3n - 1\) Um die Frage "Wer hat wie überlegt?" zu beantworten, betrachten wir die Mauern im Bild. Die Formel von Milena gibt die Gesamtzahl der Würfel an, wenn: - \(n\) die Anzahl der Würfel der unteren Reihe ist (die Reihe, die auf dem Boden sitzt). - \(k\) ist die Anzahl der zusätzlichen Würfel, die auf der schon vorhandenen Reihe(n) von Würfeln platziert wird. Die Formel von Kevin basiert einzig auf der Anzahl der Würfel in der untersten Reihe, unabhängig davon, wie viele Würfel obendrauf platziert wurden. A) Wer hat wie überlegt? Auf Basis der Formeln können wir folgendes sagen: - Milena betrachtet sowohl die Anzahl der Würfel in der untersten Reihe als auch die Anzahl der zusätzlichen Würfel, die darauf platziert werden. Ihr Überlegungsprozess wäre demnach der, dass sie für jede untere Reihe und jede darauf liegende Schicht die Anzahl der Würfel addiert, plus einen Würfel, der die Spitze der Mauer bildet. - Kevin hingegen berücksichtigt nur die Anzahl der Würfel in der untersten Reihe und subtrahiert dann einen Würfel. Seine Überlegung erscheint etwas vereinfacht, denn sie nimmt nicht die zusätzlichen Würfel obendrauf in Betracht, außer dass ein Würfel von der Gesamtanzahl der unteren Reihe subtrahiert wird. Dies scheint darauf hinzuweisen, dass er von der Gesamtzahl der Würfel in der untersten Reihe ausgeht, aber den abschließenden Würfel obenauf nicht mitzählt. B) Liefen beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein, nicht beide Terme sind allgemein gültig für beliebig lange Mauern. Die Formel von Kevin wird nicht korrekt sein, wenn auf der ersten Reihe (unterste Reihe) weitere Würfel hinzugefügt werden. Die Formel von Milena scheint anpassungsfähiger zu sein, da sie auch zusätzliche Schichten berücksichtigt. Um zu argumentieren, dass Milenas Formel besser geeignet ist, kann man darauf hinweisen, dass sie spezifischer auf die Konstruktion der Mauern eingeht, indem sie die Anzahl der zusätzlichen Würfel über der untersten Reihe und den Würfel an der Spitze einbezieht. Kevin hingegen lässt diese zusätzlichen Würfel außer Acht und subtrahiert pauschal einen Würfel, was nur für Mauern ohne zusätzliche Schichten korrekt sein würde.
Determining Dice Count in Walls and Comparing Remaining Dice
In der Aufgabe geht es darum, die Anzahl der Würfel zu bestimmen, die in den von Milena und Kevin beschriebenen Mauern verwendet wurden, und herauszufinden, wer mehr Würfel übrig hat. Milena beschreibt ihre Mauer mit der Formel 2n + k (wobei n für die Länge der Mauer steht und k = 1), und Kevin beschreibt seine mit der Formel 3n + 1. Nun sollen wir überprüfen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl der Würfel liefern und bestimmen, wer mehr Würfel übrig hat. Beginnen wir mit der Überprüfung der Terme: - Für Mauer A: Die sichtbare Länge der Mauer beträgt 3 Würfel, aber wir können sehen, dass an der Vorderseite ein Würfel hinzugefügt werden muss, um die erste Ebene zu vervollständigen, was auf eine Länge von 4 hinweist. Also, n = 4. Die Höhe der Mauer ist in der Mitte ein Würfel höher als an den Enden, was bedeutet, dass es zwei Schichten gibt. Hier können wir Milenas Formel anwenden (denn sie beschreibt die Mauern mit zwei Schichten): 2n + k = 2 * 4 + 1 = 9. Wir zählen die Würfel, und es gibt tatsächlich 9 Würfel in Mauer A. - Für Mauer B: Die sichtbare Länge ist 4 (plus 1 unsichtbar an der Vorderseite, also ist n = 5), und die Höhe ist gleich über die Länge hinweg. Das passt zu Kevins Beschreibung von Mauern mit einer gleichmäßigen Höhe: 3n + 1 = 3 * 5 + 1 = 16. Tatsächlich gibt es 16 Würfel in Mauer B. Wer hat mehr Würfel übrig? Da die Mauern für verschiedene Werte von n gebaut werden können, vergleichen wir die Terme, um zu sehen, wer mit steigendem n mehr Würfel hat: Für Milena: 2n + 1 Für Kevin: 3n + 1 Für jeden zusätzlichen Wert von n (also für jede Erweiterung der Mauerlänge), fügt Kevin 3 Würfel hinzu und Milena 2 Würfel. Also, unabhängig vom Anfangswert von n, wird Kevin immer mehr Würfel im Vergleich zu Milena hinzufügen, wenn die Mauern länger werden. Also hat Kevin mehr Würfel übrig für Mauern, die länger als die in den Beispielen A und B gezeigten sind.
Analyzing Cube Structure with Milena and Kevin
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena: 2 \(\times\) (k + 1) Kevin: 3 + k \(\times\) 1 Milena und Kevin haben ihre Überlegungen vernachlässigt. A) Wer hat wie überlegt? B) Welche beiden Terme liefern bei beliebiger Länge der fertigen Mauern die richtige Anzahl Würfel? Begründe deine Antwort. Zu A): Wenn wir die Mauern analysieren, können wir sehen, dass sie aus einer Reihe von Würfeln bestehen, die auf der Oberseite um einen Würfel erhöht wird, um eine Art "Stufe" zu schaffen. Milena stellt die Anzahl der Würfel in jeder Mauer als 2 \(\times\) (k + 1) dar, was bedeutet, sie nimmt an, dass es eine Basis der Länge k gibt und für jede zusätzliche Einheit der Länge (k+1), gibt es zwei Würfel oben darauf, also werden die beiden verdoppelt. Kevin hingegen beschreibt die Anzahl der Würfel als 3 + k \(\times\) 1. Dies scheint darauf hinzuweisen, dass er von 3 Würfeln ausgeht, die eine konstante Größe repräsentieren (vielleicht die beiden Würfel an den Enden und der erste Würfel von k), und dann fügt er abhängig von der Länge k immer nur einen weiteren Würfel dazu. Zu B): Um die richtige Anzahl von Würfeln für jede Mauer zu ermitteln, betrachten wir die Muster. Jede Mauer beginnt mit einem einzelnen Würfel und wird dann auf beiden Seiten um je einen Würfel erhöht, um die Stufen zu erstellen. Daher hat jede nächste Stufe gleichzeitig eins mehr auf der Basis und zwei mehr insgesamt. Das bedeutet, dass für jede Längeneinheit k der Mauer, es k Würfel auf der Basis gibt und zusätzlich je zwei Würfel an den Enden, also insgesamt 2 + k. Diese Formel wird dadurch bewiesen, dass für k = 1 (die Basislänge von einer Einheit) die Mauer insgesamt 3 Würfel hat (2 + k = 2 + 1 = 3), für k = 2 gibt es 4 Würfel (2 + k = 2 + 2 = 4), usw. Keines von Milenas und Kevins Termen ist ganz korrekt, aber wenn wir sie kombinieren, erhalten wir den richtigen Term: 2 + k.
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