Example Question - mathematical problem
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Value of a Three-Digit Number with Specific Modifications
<p>Giả sử số cần tìm là x.</p> <p>Gọi x có dạng abc, trong đó a, b, c là chữ số.</p> <p>Khi thêm chữ số 2 vào bên phải, số mới trở thành abc2.</p> <p>Ta cần tìm số x mà 4 lần số này là 106 đơn vị. Vậy, ta có:</p> <p>4 \times (10 \times x + 2) = 106</p> <p>Rút gọn: 40x + 8 = 106</p> <p>40x = 106 - 8</p> <p>40x = 98</p> <p>x = \frac{98}{40}</p> <p>x = 2.45</p> <p>Do x là số nguyên, tìm các giá trị nguyên x phù hợp với điều kiện đưa ra.</p>
Area Calculation of a Geometric Shape
<p>Da kein genauer mathematischer Kontext oder eine geometrische Form angegeben ist, werde ich annehmen, dass die Berechnung die eines Rechtecks ist, da es zwei verschiedene Maßangaben gibt (was bei einem Rechteck zwei Seiten darstellen kann). Der Buchstabe "A" wird oft verwendet, um den Flächeninhalt (Area) zu bezeichnen, und "L" könnte für die Länge (Length) stehen, während "B" für die Breite (Breadth) stehen könnte. Doch ohne Kontext ist dies eine Annahme.</p> <p>Um den Flächeninhalt A eines Rechtecks zu finden, multiplizieren wir die Länge (L) mit der Breite (B):</p> \[ A = L \cdot B \] <p>Setzen wir die gegebenen Maße ein:</p> \[ A = 13\ cm \cdot 18\ cm \] <p>Berechnung des Produkts:</p> \[ A = 234\ cm^2 \] <p>Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 234 Quadratzentimeter.</p>
Solving a Fourth Degree Algebraic Equation
Đây là một bài toán đại số với phương trình \(x^4 - 12x^2 + 16 = 0\). Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Cụ thể, đặt \(t = x^2\) (với \(t \geq 0\) vì \(x^2\) không âm). Phương trình sẽ trở thành: \(t^2 - 12t + 16 = 0\) Giờ ta giải phương trình bậc hai này: Ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(t^2 + bt + c = 0\) là \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ta có: \(a = 1, b = -12, c = 16\) Áp dụng công thức, ta tính được: \(t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}\) \(t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2}\) \(t = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2}\) \(t = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2}\) \(t = 6 \pm 2\sqrt{5}\) Vì \(t\) là \(x^2\) và \(x^2\) không thể âm, nên ta chỉ xét \(t = 6 + 2\sqrt{5}\) hoặc \(t = 6 - 2\sqrt{5}\). Giờ ta sẽ quay lại biến \(x\) bằng cách lấy căn bậc hai của t: \(x^2 = 6 + 2\sqrt{5}\) hoặc \(x^2 = 6 - 2\sqrt{5}\) Lấy căn bậc hai cho cả hai vế, ta sẽ có các nghiệm cho x là: \(x = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\), \(x = -\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\), \(x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\), và \(x = -\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\). Đây là các nghiệm của phương trình \(x^4 - 12x^2 + 16 = 0\).
Direct Variation Problem Solution
The image features a mathematical problem that reads: "Given \( x \) and \( y \) = 65 when \( x = 5 \), find \( y \) when \( x = 2 \)." This problem describes a direct variation between \( x \) and \( y \), where their product is constant. Initially, when \( x = 5 \), \( y \) is such that \( x \cdot y = 65 \). First, we can find the initial value of \( y \) when \( x = 5 \): \[ 5 \cdot y = 65 \] \[ y = 65 / 5 \] \[ y = 13 \] Now that we know the relationship between \( x \) and \( y \) is such that their product is always 65, we can use this information to find \( y \) when \( x = 2 \): \[ x \cdot y = 65 \] \[ 2 \cdot y = 65 \] \[ y = 65 / 2 \] \[ y = 32.5 \] Therefore, when \( x = 2 \), \( y \) is 32.5.
Solving a Time Calculation Mathematical Problem
从图片中可以看到，题目是要求解一个时间计算的数学问题。 题目是：9点13分-1点53分=（ ）。 解题步骤如下： 1. 首先，我们需要从更大的时间单位（小时）开始计算。 2. 从9小时（9点）减去1小时（1点），得到8小时。 3. 然后，我们需要计算分钟。 4. 因为13分比53分要少，所以我们需要从前一小时中借一个小时来转换成分钟，即从8小时中借出60分钟加到13分上，变成73分钟。 5. 接下来，从73分钟减去53分钟，得到20分钟。 6. 因为我们之前借了一个小时，所以现在总共是7小时20分钟。 所以，答案是7小时20分钟。 用中文注释表示答案为： 9点13分-1点53分=7小时20分钟。
Solving a Quadratic Equation for Integer N
这个数学问题是关于解一元二次方程的。题目是： 若平方根x等于2/3，且整数N是2/5的倍数时，严格整数分解式最高可有10次幂，请计算N的值。 为了解这个问题，我们首先需要建立一个一元二次方程。根据题目描述，“平方根x等于2/3”，可以表示为： x^(1/2) = 2/3 将这个方程平方，以便去掉根号： x = (2/3)^2 x = 4/9 现在我们知道x的值是4/9。根据题目描述的第二部分，N是2/5的倍数，写作k(2/5)，其中k是一个整数。于是我们可以得到N = 2k/5。 由于N是严格整数分解式，我们可以知道当N的分解中最高有10次幂时，N是一个整数。所以分子必须至少是5的10次幂才能确保分母的所有5乘以2k之后依旧是整数。5的10次幂是5^10，这是最小的整数，它包含5的10次幂。 那么，N = 2k/5中k必须是5^9，这样N才会是一个整数（相当于分母中的一个5和分子中的一个5约去，得到的结果是一个整数）。 所以： N = (2 * 5^9) / 5 N = 2 * 5^8 N = 2 * 390625 N = 781250 综上所述，N的值是781250。
Solving a Mathematical Problem about Employment Years
这张图片显示了一个数学题目，题目的内容如下： “某工程队（ ）年雇用了①位工人。按每位工人： 年薪3万元，共付工资18万元。 （1）求该工程队雇用这位工人的年份是多少。” 我们来解答这个问题。 已知每位工人的年薪是3万元，该工程队共付工资18万元。要求的是工程队雇用这位工人的年份。 由题意可知，总共付给这位工人的工资是18万元，每年付3万元，所以可以用总工资数除以每年的工资金额来计算工程队雇用这位工人的总年数。 计算如下： \( \frac{总工资}{每年工资} = \frac{18万元}{3万元/年} = 6年 \) 因此，该工程队雇用这位工人的年份是6年。
Solving a Mathematical Problem with Fraction Analysis
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ dùng phương pháp phân tích các biểu thức được cho thành tổng của các phân số có tử số là 1 và mẫu số là tích của hai số nguyên liên tiếp. Cụ thể: \[ \frac{7}{1 \cdot 5} = \frac{7}{1 \cdot 2} - \frac{7}{5 \cdot 6} \] \[ \frac{7}{5 \cdot 9} = \frac{7}{5 \cdot 6} - \frac{7}{9 \cdot 10} \] \[ \frac{7}{9 \cdot 13} = \frac{7}{9 \cdot 10} - \frac{7}{13 \cdot 14} \] \[ \frac{7}{13 \cdot 17} = \frac{7}{13 \cdot 14} - \frac{7}{17 \cdot 18} \] \[ \frac{7}{17 \cdot 21} = \frac{7}{17 \cdot 18} - \frac{7}{21 \cdot 22} \] Sau khi biến đổi, ta thấy các phân số giữa biểu thức đều bị triệt tiêu lẫn nhau, chúng ta chỉ còn lại hai phân số ở hai đầu: \[ D = \left(\frac{7}{1 \cdot 2} - \frac{7}{5 \cdot 6}\right) + \left(\frac{7}{5 \cdot 6} - \frac{7}{9 \cdot 10}\right) + \left(\frac{7}{9 \cdot 10} - \frac{7}{13 \cdot 14}\right) + \left(\frac{7}{13 \cdot 14} - \frac{7}{17 \cdot 18}\right) + \left(\frac{7}{17 \cdot 18} - \frac{7}{21 \cdot 22}\right) \] \[ D = \frac{7}{1 \cdot 2} - \frac{7}{21 \cdot 22} \] \[ D = \frac{7}{2} - \frac{7}{462} \] Để cộng hoặc trừ hai phân số, trước hết chúng ta phải tìm mẫu số chung. Ở đây mẫu số chung là \(2 \cdot 231 = 462\). Khi đó ta quy đồng mẫu số và thực hiện phép trừ: \[ D = \frac{7 \cdot 231}{462} - \frac{7}{462} \] \[ D = \frac{1617}{462} - \frac{7}{462} \] \[ D = \frac{1617 - 7}{462} \] \[ D = \frac{1610}{462} \] Để đơn giản hơn, ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng. Ở đây số \(1610\) và \(462\) đều chia hết cho \(2\): \[ D = \frac{1610 \div 2}{462 \div 2} \] \[ D = \frac{805}{231} \] Phân số này không thể rút gọn thêm nữa, vì vậy đây chính là kết quả cuối cùng của biểu thức.
Finding the Largest Number among Three Given Numbers
Bài toán này yêu cầu tìm số lớn nhất trong ba số a, b, c dựa trên điều kiện đã cho là tổng của a và b là 20, và tổng của b và c là 38. Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng hệ phương trình: 1. a + b = 20 2. b + c = 38 Chúng ta cần giải hệ phương trình này để tìm giá trị của a, b, và c. Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn a qua b: a = 20 - b (3) Tiếp tục, từ phương trình thứ hai, ta sẽ tìm c: c = 38 - b (4) Bây giờ, chúng ta cần so sánh a và c để tìm ra số lớn nhất. Từ các phương trình (3) và (4), nếu b giữ nguyên và c = 38 - b, thì nếu b tăng thì c giảm và ngược lại. Nên khi b lớn nhất mà c vẫn lớn hơn a, thì đó là giá trị của b mà tại đó c sẽ lớn nhất. Để c lớn hơn a, từ (3) và (4), ta có: 38 - b > 20 - b 38 > 20 Điều này luôn đúng. Vì vậy, để c lớn nhất, b phải nhỏ nhất có thể. Tuy nhiên, chúng ta cần nhớ rằng a, b, c đều là các số nguyên. Vì b là phần tử chung của cả hai tổng, b phải là một số nguyên dương để cả a và c cũng là các số nguyên (do đề bài nói rằng a, b, c là các số nguyên). Nếu chúng ta giả sử b = 0 (giá trị nhỏ nhất có thể cho một số nguyên dương), thì a = 20 và c = 38, khi đó c sẽ là số lớn nhất. Vậy số lớn nhất trong ba số a, b, c chính là c và giá trị của c là 38.
Mathematical Problem: Hotel Room Distribution
The image contains a mathematical problem written in Swedish. It states: "På ett hotell finns dubbelrum med två sängar och enkelrum med en säng. Sammanlagt finns det 80 rum. En natt var 80% av dubbelrummen och 40% av enkelrummen upptagna. Detta motsvarade 52 rum. Hur många dubbelsplatsers finns det på hotellet?" Translated into English, the mathematical problem is as follows: "At a hotel, there are double rooms with two beds and single rooms with one bed. In total, there are 80 rooms. One night, 80% of the double rooms and 40% of the single rooms were occupied. This accounted for 52 rooms. How many double places are there at the hotel?" To solve this problem, let's use algebra. Let x be the number of double rooms and y be the number of single rooms. We know two things: 1. The total number of rooms is 80, so x + y = 80. 2. 80% of the double rooms and 40% of the single rooms were occupied, and this accounted for 52 rooms. So 0.8x + 0.4y = 52. Let's solve this system of equations: 1. x + y = 80. 2. 0.8x + 0.4y = 52. To eliminate one variable, we could multiply the whole equation (1) by 0.8, which would give us: 0.8x + 0.8y = 64 Now we can subtract this from equation (2): 0.8x + 0.4y = 52 -(0.8x + 0.8y = 64) ---------------------- 0 - 0.4y = -12 This simplifies to -0.4y = -12, dividing by -0.4 gives us y = 30. Now that we know there are 30 single rooms (y), we can substitute this value back into equation (1) to find x: x + y = 80 x + 30 = 80 x = 80 - 30 x = 50. There are 50 double rooms at the hotel. To find out how many double places there are at the hotel, we simply multiply the number of double rooms by the number of beds in each room: 50 double rooms * 2 beds per room = 100 double places at the hotel.
Factorial Expression Evaluation
The image shows a mathematical problem that asks to evaluate the expression: \[ \frac{7!}{8!} \] Here "!" represents the factorial operation, which means the product of all positive integers up to that number. For example, \(7!\) is \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\). Now let's evaluate the expression by writing out the factorials: \[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] Substituting these into the original equation: \[ \frac{7!}{8!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] In this fraction, every term in \(7!\) cancels out with its corresponding term in \(8!\), except for the 8 in the denominator: \[ \frac{7!}{8!} = \frac{1}{8} \] So the evaluated expression is \(\frac{1}{8}\).
Mathematical Problem with Vectors in French
The image shows a handwritten math problem in French, which includes two parts. The first part is about computing the vectorial product of two vectors, and the second part is about determining the expression of a vector. Let's solve both parts step by step. 1. Compute the vector product (vecteur) of: \(\overrightarrow{u}(x_u, y_u, z_u) = (x - y, y^2 - x^2, 3z)\) \(\overrightarrow{v}(x_v, y_v, z_v) = (x, y, z)\) The cross product of two vectors in three-dimensional space is given by the determinant of the following matrix: \[\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \\ \end{vmatrix}\] Substituting the given vector components: \[ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x - y & y^2 - x^2 & 3z \\ x & y & z \\ \end{vmatrix} \] = \(\hat{i}((y^2 - x^2)z - y(3z))\) - \(\hat{j}((x - y)z - (3z)x)\) + \(\hat{k}((x - y)y - (y^2 - x^2)x)\) Now let's compute each component individually: For \(\hat{i}\): \[ (y^2 - x^2)z - y(3z) = y^2z - x^2z - 3yz \] For \(\hat{j}\) (note the change of sign because it's the second component): \[ -((x - y)z - (3z)x) = -xz + yz - 3zx = 2zx - yz \] For \(\hat{k}\): \[ (x - y)y - (y^2 - x^2)x = xy - y^2 - y^2x + x^3 \] Finally, put these components together to get the cross product: \(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (y^2z - x^2z - 3yz)\hat{i} + (2zx - yz)\hat{j} + (xy - y^2 - y^2x + x^3)\hat{k}\) 2. Determine the expression of the vector \( \overrightarrow{w} \) as a linear combination of the base vectors \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) knowing that \( \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = 3 \) and \( \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \) The scalar product (dot product) of two vectors is defined as \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \), where \( a_x, a_y, a_z \) and \( b_x, b_y, b_z \) are the components of vectors \( \vec{a} \) and \( \vec{b} \), respectively. Let's assume \( \overrightarrow{w} = (w_x, w_y, w_z) \). We have two equations from the problem statement: \( \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = w_x(x - y) + w_y(y^2 - x^2) + w_z(3z) = 3 \) \( \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = w_xx + w_yy + w_zz = 1 \) Unfortunately, with only two equations, we cannot uniquely determine three unknowns (\( w_x, w_y, w_z \)). Additional information would be needed to find a unique solution for \( \vec{w} \), but we can write \( \vec{w} \) as the following, leaving the coefficients \( w_x, w_y, w_z \) as variables: \( \vec{w} = w_x \hat{i} + w_y \hat{j} + w_z \hat{k} \) Without more information, we can't determine the exact values for \( w_x, w_y, w_z \) that satisfy both given conditions.
Derivative Calculation of a Quadratic Function
The image shows a mathematical problem where you are given a function f(x) = 3x^2 + 2x and asked to find the derivative of the function at x = 2, represented as f'(2). To find the derivative f'(x) of the function f(x) = 3x^2 + 2x, we will use the power rule for differentiation. The power rule states that the derivative of x^n is n*x^(n-1). So for f(x) = 3x^2 + 2x: f'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (2x) = 3 * 2x^(2-1) + 2 * 1x^(1-1) = 6x + 2 Now we need to evaluate the derivative at x = 2: f'(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 Therefore, the derivative of the function at x = 2, f'(2), is 14.
Solving a Complex Equation with Imaginary Numbers
The image displays a mathematical problem: \[ \text{Find the value of a and b if } bi^{2} + \frac{4}{3}i - \sqrt{3} = a + bi\sqrt{3}. \] To solve this, we need to realize that \(i^2 = -1\) and group real and imaginary parts separately. \[ bi^{2} + \frac{4}{3}i - \sqrt{3} = a + bi\sqrt{3}, \] \[ b(-1) + \frac{4}{3}i - \sqrt{3} = a + bi\sqrt{3}. \] Now, group real parts together and imaginary parts together: Real parts: \(-b - \sqrt{3} = a,\) Imaginary parts: \(\frac{4}{3}i = bi\sqrt{3}.\) Now let's isolate \(b\) from the imaginary part: \[ b = \frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{9}.\] Then substitute \(b\) into the real part to find \(a\): \[ -\left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right) - \sqrt{3} = a,\] \[ a = -\left(\frac{4\sqrt{3}}{9} + \frac{9\sqrt{3}}{9}\right), \] \[ a = -\left(\frac{4\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{9}\right), \] \[ a = -\left(\frac{13\sqrt{3}}{9}\right). \] Thus, the values for \(a\) and \(b\) are: \[ a = -\frac{13\sqrt{3}}{9}, \] \[ b = \frac{4\sqrt{3}}{9}. \]
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com