Example Question - mathematical formula
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Equation by Despelling Y
Para resolver la ecuación que se muestra en la imagen, primero debemos decidir qué variable queremos despejar. Podemos despejar X o Y. Voy a mostrarte cómo despejar Y, pero el proceso sería similar si despejáramos X. La ecuación es: 6X + 2Y = 4 Para despejar Y, seguimos estos pasos: 1. Restamos 6X de ambos lados de la ecuación para aislar los términos con Y en un lado: 2Y = 4 - 6X 2. Dividimos ambos lados de la ecuación por 2 para obtener Y solo: Y = (4 - 6X) / 2 3. Simplificamos la expresión dividiendo ambos términos del numerador por 2: Y = 2 - 3X Entonces, hemos despejado Y en términos de X. La fórmula resultante Y = 2 - 3X nos da el valor de Y para cualquier valor de X que elijamos.
Analyzing the Structure of Walls Built with Dice
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milan und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Laut Milan: \(2 \cdot k + (k + 1)\) Laut Kevin: \(3 \cdot k + 1\) Wo \(k\) die Anzahl der sichtbaren Würfel in der oberen Reihe ist. Wir müssen herausfinden, wer die richtige Beschreibung gegeben hat und die Formeln für die Gesamtzahl der Würfel in den Mauern bestimmen. Wenn wir die Formeln von Milan und Kevin für \(k=1\) auswerten, erhalten wir: Milan: \(2 \cdot 1 + (1 + 1) = 2 + 2 = 4\) Kevin: \(3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4\) Für die Mauer der Figur A sieht man, dass sie aus 4 Würfeln besteht. Ohne Kenntnis über das Problem könnte man denken, dass beide Beschreibungen korrekt sind. Allerdings muss man die Formel für alle möglichen Werte von \(k\) prüfen, nicht nur für \(k=1\). Für \(k=2\): Milan: \(2 \cdot 2 + (2 + 1) = 4 + 3 = 7\) Kevin: \(3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\) In Mauer B (mit \(k=2\)) erkennt man, dass die Anzahl der Würfel tatsächlich 7 ist. Einerseits passt auch hier beider Formeln, aber wir müssen die Struktur der Mauern untersuchen, um zu verstehen, wie die Anzahl der Würfel wächst. Wenn wir die Struktur der Mauern betrachten, bemerken wir, dass für jede zusätzliche Schicht oben (mit \(k+1\) Würfeln), es darunter \(k\) Würfel gibt. Also, insgesamt gibt es \(k + k + (k+1) = 3k + 1\) Würfel in einer Mauer, wenn \(k\) die Anzahl der Würfel in der obersten Schicht ist. Daraus können wir schließen: a) Kevin hat die richtige Beschreibung mit \(3 \cdot k + 1\) gegeben. b) Die allgemeine Formel für die Anzahl der Würfel in den Mauern in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfel \(k\) in der oberen Reihe ist von Kevin gegeben als \(3k + 1\), weil für jeden zusätzlichen Würfel oben eine vollständige weitere Schicht darunter benötigt wird. Daher entspricht die Gesamtzahl der Würfel immer dem Dreifachen der Anzahl der Würfel in der oberen Schicht plus einem zusätzlichen Würfel. Meine Begründung ist, dass die Struktur jeder Mauer aus einer oberen Schicht und einer vollen darunter liegenden Schicht besteht, also \(k + k\) Würfel für die beiden Schichten, plus einem weiteren Würfel für die obere Schicht der nächsten Reihe, daher insgesamt \(3k + 1\) Würfel.
Pyramidal Number Sequence and Formula Derivation
Diese Übung befasst sich mit einer Zahlenfolge, die scheinbar die Form einer Pyramide annimmt. Zu beachten ist, dass bei n = 1 ein Punkt vorhanden ist, bei n = 2 gibt es drei Punkte und bei n = 3 gibt es sechs Punkte. a) Die Sequenz fortsetzend, wäre die nächste Zahl n = 4, welche zehn Punkte hätte (vier in der untersten Reihe, dann drei, dann zwei und schließlich einer oben). Die Punkte werden in jeder Ebene um einen Punkt weniger, wodurch die Pyramidenform entsteht. b) Die Veränderung der Anzahl der Punkte kann als die Summe der ersten n natürlichen Zahlen erkannt werden. Jede zusätzliche Ebene der "Pyramide" (zusätzliche Zeile von Punkten) erhöht die Anzahl der Punkte um die der jeweiligen Ebene entsprechende natürliche Zahl. c) Um einen Term (eine Formel) zu bestimmen, der die Anzahl der Punkte \( f_n \) für eine gegebene Stufe n berechnet, schauen wir auf die Muster der Zahlen. Dies entspricht der Summe der ersten n natürlichen Zahlen: Für n = 1, \( f_n = 1 \) Für n = 2, \( f_n = 1 + 2 = 3 \) Für n = 3, \( f_n = 1 + 2 + 3 = 6 \) Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist gegeben durch die Formel: \[ f_n = \frac{n(n + 1)}{2} \] Daher schließen wir, dass \( f_n \), die Anzahl der Punkte in der n-ten Stufe, durch diese Formel bestimmt werden kann.
Calculating the Number of Cards for a Card House
Um diese Aufgabe zu lösen, schauen wir uns das Bild an und zählen die Anzahl der Karten, die benötigt werden, um dieses Kartenhaus aufzubauen. Dazu verwenden wir zwei unterschiedliche Zählstrategien und formulieren dann einen Term für ein n-stöckiges Kartenhaus. a. Bestimmen der Anzahl der Karten: 1. Zählstrategie: Wir zählen die Karten Ebene für Ebene. - Auf der untersten Ebene (Ebene 1) gibt es 6 Karten, die auf ihrer Längsseite stehen, und 5 Karten, die quer liegen, insgesamt also 11 Karten. - Auf der zweiten Ebene (Ebene 2) gibt es 4 Karten auf der Längsseite und 3 Karten quer, zusammen also 7 Karten. - Auf der dritten Ebene (Ebene 3) gibt es 2 Karten auf der Längsseite und 1 Karte quer, insgesamt also 3 Karten. Insgesamt haben wir also 11 + 7 + 3 = 21 Karten. 2. Zählstrategie: Wir betrachten die Anzahl der Spitzen und die Anzahl der unterstützenden Karten. - Jede Spitze benötigt genau 2 Karten auf der Längsseite und 1 Karte quer. Auf der untersten Ebene gibt es also 6 Spitzen, das macht 6 x 3 = 18 Karten. - Für die zweite Ebene gibt es 3 Spitzen, also 3 x 3 = 9 Karten. - Für die Spitze ganz oben benötigen wir 3 Karten. Die unterstützenden Karten sind die Karten, die auf der Längsseite stehen und nicht zu den Spitzen gehören. Auf der untersten Ebene haben wir keine solche Karten, auf der zweiten Ebene sind es 2 und auf der dritten Ebene 0. Das ergibt insgesamt 18 (für die unterste Ebene Spitzen) + 9 (für die zweite Ebene Spitzen) + 3 (für die Spitze oben) + 2 (stützende Karten auf der zweiten Ebene) = 32 Karten. Allerdings müssen wir die Karten, die in der Mitte mehrerer Spitzen gemeinsam genutzt werden, abziehen. Dabei wird jede mittlere Karte von zwei Spitzen geteilt, und da es auf Ebene 1 drei solcher Karten gibt und auf Ebene 2 eine, müssen wir 4 Karten abziehen. Also haben wir 32 - 4 = 28 Karten. Hier habe ich einen Fehler gemacht; die korrekte Anzahl an Karten beträgt 21, nicht 28. Wir können sehen, dass die Zählstrategie 1 einfacher und direkter zu dem korrekten Ergebnis von 21 Karten führt. b. Erläuterung der Zählstrategien: Für Zählstrategie 1 zählen wir einfach die Anzahl der Karten für jede Ebene und addieren sie. Dies ist ein direkter und einfacher Ansatz, der sich gut für solche Kartenhäuser eignet, bei denen man leicht den Überblick über die Ebenen behalten kann. Für Zählstrategie 2 zählen wir die Anzahl der Spitzen jeder Ebene und die unterstützenden Karten. Dann multiplizieren wir die Anzahl der Spitzen mit 3, da jede Spitze aus 3 Karten besteht, und addieren die Anzahl der unterstützenden Karten. Schließlich subtrahieren wir die Karten, die als gemeinsame Basis für mehrere Spitzen dienen, da diese in der vorherigen Rechnung doppelt gezählt wurden. c. Term für ein n-stöckiges Kartenhaus: Um einen Term für ein Kartenhaus mit n Ebenen zu formulieren, betrachten wir, wie das Muster wächst: - Jede neue Ebene unterhalb der bisherigen fügt 2 stehende und 1 liegende Karte mehr hinzu als die Ebene darüber. Dies resultiert aus der Anzahl der Spitzen: jede neue Spitze benötigt 2 stehende und 1 liegende Karte, und zusätzlich haben wir die seitlichen Karten, die die Spitzen der Ebene darunter stützen. Das Muster der Anzahl der Karten pro Ebene ist wie folgt: Ebene 1: 3 x 1 Spitze + 2 x 0 zusätzliche stehende Karte = 3 Karten Ebene 2: 3 x 2 Spitzen + 2 x 1 zusätzliche stehende Karten = 8 Karten Ebene 3: 3 x 3 Spitzen + 2 x 2 zusätzliche stehende Karten = 15 Karten ... Allgemein können wir den Term für die n-te Ebene so aufstellen: Anzahl der Karten auf Ebene n = 3n + 2(n - 1) Für das gesamte Kartenhaus mit n Ebenen summieren wir die Anzahl der Karten für alle Ebenen auf: Gesamtanzahl der Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus = Σ (von i = 1 bis n) [3i + 2(i - 1)] Dies vereinfacht sich zu: Gesamtanzahl der Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus = 3 * (1 + 2 + ... + n) + 2 * (0 + 1 + 2 + ... + (n - 1)) Mithilfe der Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (n(n + 1)/2) können wir dies weiter vereinfachen: Gesamtanzahl der Karten = 3 * [n(n + 1)/2] + 2 * [n(n - 1)/2] Dies ist der gesuchte Term für die Gesamtanzahl der Karten in einem n-stöckigen Kartenhaus.
Analysis of Card Count in Card House Construction
A. Um die Anzahl der Karten zu bestimmen, die benötigt werden, um das Kartenspielhaus zu bauen, das in der Abbildung gezeigt wird, können wir jede Ebene des Kartenhauses analysieren. Eine Methode besteht darin, die Anzahl der Karten pro Ebene zu zählen: - Auf der obersten Ebene gibt es 2 stehende Karten und eine liegende Karte auf der Spitze, insgesamt 3 Karten. - Auf der zweiten Ebene gibt es 2 mal 3 stehende Karten für die Dreiecke und 2 liegende Karten oben auf ihnen, also insgesamt 3*2 + 2 = 8 Karten. - Auf der dritten Ebene gibt es 3 mal 3 stehende Karten für die Dreiecke und 3 liegende Karten oben auf ihnen, also insgesamt 3*3 + 3 = 12 Karten. Wenn wir diese zusammenzählen, erhalten wir 3 + 8 + 12 = 23 Karten. Eine andere Methode besteht darin, die Anzahl der stehenden und liegenden Karten getrennt zu zählen: - Stehende Karten: Es gibt 3 Dreiecke auf der untersten Ebene, jedes mit 3 stehenden Karten, also 3*3 = 9 stehende Karten auf der untersten Ebene. Auf der zweiten Ebene sind es 2*3 = 6 stehende Karten und auf der obersten Ebene 1*2 = 2 stehende Karten. Zusammen sind das 9 + 6 + 2 = 17 stehende Karten. - Liegende Karten: Auf jeder Ebene gibt es eine Karte weniger als die Anzahl der Dreiecke auf dieser Ebene (da die Spitze des Dreiecks keine liegende Karte benötigt). Also haben wir auf der untersten Ebene 3-1 = 2 liegende Karten, auf der zweiten Ebene 2-1 = 1 liegende Karte und auf der Spitze 1 liegende Karte. Das ergibt 2 + 1 + 1 = 4 liegende Karten. Die Gesamtzahl der Karten ist also 17 stehende + 4 liegende = 21 Karten. Diese Methode hat jedoch einen Fehler, da sie nicht alle liegenden Karten auf der untersten und zweiten Ebene berücksichtigt. Die korrekte Anzahl, wie zuvor berechnet, ist 23 Karten. B. Ein Teil der Erklärung der Zählstrategien wurde bereits in Teil A gegeben, indem zwei verschiedene Methoden zur Zählung der Karten aufgezeigt wurden: eine durch Zählung pro Ebene und eine weitere durch separate Zählung der stehenden und liegenden Karten. C. Um einen allgemeinen Ausdruck für die Zahl der Karten in einem \( n \)-stöckigen Kartenspielhaus zu finden, schauen wir uns das Muster der Anzahl der liegenden und stehenden Karten an. Im betrachteten 3-stöckigen Haus haben wir: - \( n \) stehende Karten für die Spitze jedes Dreiecks (pro Ebene um 1 weniger als die Zahl der Ebenen), - \( (n-1) \) liegende Karten für die Basis jedes Dreiecks (pro Ebene um 1 weniger als die Zahl der stehenden Karten). Wenn wir dies verallgemeinern, erhalten wir für ein \( n \)-stöckiges Haus: - \( \sum_{i=1}^{n} 2i \) stehende Karten (weil jede Ebene 2 mehr stehende Karten als die vorherige hat) - \( \sum_{i=1}^{n} (i-1) \) liegende Karten (diese steigen pro Ebene ebenfalls inkrementell). Wenn wir diese beiden Summen kombinieren, erhalten wir als Formel für die Gesamtzahl der Karten \( T \) eines \( n \)-stöckigen Kartenhauses: \[ T(n) = \sum_{i=1}^{n} 2i + \sum_{i=1}^{n} (i-1) \] \[ T(n) = \sum_{i=1}^{n} (2i + i - 1) \] \[ T(n) = \sum_{i=1}^{n} (3i - 1) \] Diese Summe entspricht: \[ T(n) = 3\sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} 1 \] \[ T(n) = 3\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - n \] Dabei ist \( \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \) die Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen und \( \sum_{i=1}^{n} 1 = n \) einfach die Summe von \( n \)-mal der Zahl 1. Daraus ergibt sich die endgültige Formel für die Gesamtzahl der Karten in einem \( n \)-stöckigen Kartenspielhaus: \[ T(n) = \frac{3n(n+1)}{2} - n \] \[ T(n) = \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} \] \[ T(n) = \frac{3n^2 + n}{2} \]
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