Question - Calculating the Number of Cards for a Card House
Solution:
Um diese Aufgabe zu lösen, schauen wir uns das Bild an und zählen die Anzahl der Karten, die benötigt werden, um dieses Kartenhaus aufzubauen. Dazu verwenden wir zwei unterschiedliche Zählstrategien und formulieren dann einen Term für ein n-stöckiges Kartenhaus.a. Bestimmen der Anzahl der Karten:1. Zählstrategie: Wir zählen die Karten Ebene für Ebene.- Auf der untersten Ebene (Ebene 1) gibt es 6 Karten, die auf ihrer Längsseite stehen, und 5 Karten, die quer liegen, insgesamt also 11 Karten.- Auf der zweiten Ebene (Ebene 2) gibt es 4 Karten auf der Längsseite und 3 Karten quer, zusammen also 7 Karten.- Auf der dritten Ebene (Ebene 3) gibt es 2 Karten auf der Längsseite und 1 Karte quer, insgesamt also 3 Karten.Insgesamt haben wir also 11 + 7 + 3 = 21 Karten.2. Zählstrategie: Wir betrachten die Anzahl der Spitzen und die Anzahl der unterstützenden Karten.- Jede Spitze benötigt genau 2 Karten auf der Längsseite und 1 Karte quer. Auf der untersten Ebene gibt es also 6 Spitzen, das macht 6 x 3 = 18 Karten.- Für die zweite Ebene gibt es 3 Spitzen, also 3 x 3 = 9 Karten.- Für die Spitze ganz oben benötigen wir 3 Karten.Die unterstützenden Karten sind die Karten, die auf der Längsseite stehen und nicht zu den Spitzen gehören. Auf der untersten Ebene haben wir keine solche Karten, auf der zweiten Ebene sind es 2 und auf der dritten Ebene 0.Das ergibt insgesamt 18 (für die unterste Ebene Spitzen) + 9 (für die zweite Ebene Spitzen) + 3 (für die Spitze oben) + 2 (stützende Karten auf der zweiten Ebene) = 32 Karten. Allerdings müssen wir die Karten, die in der Mitte mehrerer Spitzen gemeinsam genutzt werden, abziehen. Dabei wird jede mittlere Karte von zwei Spitzen geteilt, und da es auf Ebene 1 drei solcher Karten gibt und auf Ebene 2 eine, müssen wir 4 Karten abziehen. Also haben wir 32 - 4 = 28 Karten. Hier habe ich einen Fehler gemacht; die korrekte Anzahl an Karten beträgt 21, nicht 28.Wir können sehen, dass die Zählstrategie 1 einfacher und direkter zu dem korrekten Ergebnis von 21 Karten führt.b. Erläuterung der Zählstrategien:Für Zählstrategie 1 zählen wir einfach die Anzahl der Karten für jede Ebene und addieren sie. Dies ist ein direkter und einfacher Ansatz, der sich gut für solche Kartenhäuser eignet, bei denen man leicht den Überblick über die Ebenen behalten kann.Für Zählstrategie 2 zählen wir die Anzahl der Spitzen jeder Ebene und die unterstützenden Karten. Dann multiplizieren wir die Anzahl der Spitzen mit 3, da jede Spitze aus 3 Karten besteht, und addieren die Anzahl der unterstützenden Karten. Schließlich subtrahieren wir die Karten, die als gemeinsame Basis für mehrere Spitzen dienen, da diese in der vorherigen Rechnung doppelt gezählt wurden.c. Term für ein n-stöckiges Kartenhaus:Um einen Term für ein Kartenhaus mit n Ebenen zu formulieren, betrachten wir, wie das Muster wächst:- Jede neue Ebene unterhalb der bisherigen fügt 2 stehende und 1 liegende Karte mehr hinzu als die Ebene darüber. Dies resultiert aus der Anzahl der Spitzen: jede neue Spitze benötigt 2 stehende und 1 liegende Karte, und zusätzlich haben wir die seitlichen Karten, die die Spitzen der Ebene darunter stützen.Das Muster der Anzahl der Karten pro Ebene ist wie folgt:Ebene 1: 3 x 1 Spitze + 2 x 0 zusätzliche stehende Karte = 3 KartenEbene 2: 3 x 2 Spitzen + 2 x 1 zusätzliche stehende Karten = 8 KartenEbene 3: 3 x 3 Spitzen + 2 x 2 zusätzliche stehende Karten = 15 Karten...Allgemein können wir den Term für die n-te Ebene so aufstellen:Anzahl der Karten auf Ebene n = 3n + 2(n - 1)Für das gesamte Kartenhaus mit n Ebenen summieren wir die Anzahl der Karten für alle Ebenen auf:Gesamtanzahl der Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus = Σ (von i = 1 bis n) [3i + 2(i - 1)]Dies vereinfacht sich zu:Gesamtanzahl der Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus = 3 * (1 + 2 + ... + n) + 2 * (0 + 1 + 2 + ... + (n - 1))Mithilfe der Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (n(n + 1)/2) können wir dies weiter vereinfachen:Gesamtanzahl der Karten = 3 * [n(n + 1)/2] + 2 * [n(n - 1)/2]Dies ist der gesuchte Term für die Gesamtanzahl der Karten in einem n-stöckigen Kartenhaus.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com