Question - Pyramidal Number Sequence and Formula Derivation
Solution:
Diese Übung befasst sich mit einer Zahlenfolge, die scheinbar die Form einer Pyramide annimmt. Zu beachten ist, dass bei n = 1 ein Punkt vorhanden ist, bei n = 2 gibt es drei Punkte und bei n = 3 gibt es sechs Punkte. a) Die Sequenz fortsetzend, wäre die nächste Zahl n = 4, welche zehn Punkte hätte (vier in der untersten Reihe, dann drei, dann zwei und schließlich einer oben). Die Punkte werden in jeder Ebene um einen Punkt weniger, wodurch die Pyramidenform entsteht.b) Die Veränderung der Anzahl der Punkte kann als die Summe der ersten n natürlichen Zahlen erkannt werden. Jede zusätzliche Ebene der "Pyramide" (zusätzliche Zeile von Punkten) erhöht die Anzahl der Punkte um die der jeweiligen Ebene entsprechende natürliche Zahl.c) Um einen Term (eine Formel) zu bestimmen, der die Anzahl der Punkte $$ f_n $$ für eine gegebene Stufe n berechnet, schauen wir auf die Muster der Zahlen. Dies entspricht der Summe der ersten n natürlichen Zahlen:Für n = 1, $$ f_n = 1 $$Für n = 2, $$ f_n = 1 + 2 = 3 $$Für n = 3, $$ f_n = 1 + 2 + 3 = 6 $$Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist gegeben durch die Formel:\[ f_n = \frac{n(n + 1)}{2} \]Daher schließen wir, dass $$ f_n $$, die Anzahl der Punkte in der n-ten Stufe, durch diese Formel bestimmt werden kann.
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