Question - Analysis of Card Count in Card House Construction
Solution:
A. Um die Anzahl der Karten zu bestimmen, die benötigt werden, um das Kartenspielhaus zu bauen, das in der Abbildung gezeigt wird, können wir jede Ebene des Kartenhauses analysieren. Eine Methode besteht darin, die Anzahl der Karten pro Ebene zu zählen:- Auf der obersten Ebene gibt es 2 stehende Karten und eine liegende Karte auf der Spitze, insgesamt 3 Karten.- Auf der zweiten Ebene gibt es 2 mal 3 stehende Karten für die Dreiecke und 2 liegende Karten oben auf ihnen, also insgesamt 3*2 + 2 = 8 Karten.- Auf der dritten Ebene gibt es 3 mal 3 stehende Karten für die Dreiecke und 3 liegende Karten oben auf ihnen, also insgesamt 3*3 + 3 = 12 Karten.Wenn wir diese zusammenzählen, erhalten wir 3 + 8 + 12 = 23 Karten.Eine andere Methode besteht darin, die Anzahl der stehenden und liegenden Karten getrennt zu zählen:- Stehende Karten: Es gibt 3 Dreiecke auf der untersten Ebene, jedes mit 3 stehenden Karten, also 3*3 = 9 stehende Karten auf der untersten Ebene. Auf der zweiten Ebene sind es 2*3 = 6 stehende Karten und auf der obersten Ebene 1*2 = 2 stehende Karten. Zusammen sind das 9 + 6 + 2 = 17 stehende Karten.- Liegende Karten: Auf jeder Ebene gibt es eine Karte weniger als die Anzahl der Dreiecke auf dieser Ebene (da die Spitze des Dreiecks keine liegende Karte benötigt). Also haben wir auf der untersten Ebene 3-1 = 2 liegende Karten, auf der zweiten Ebene 2-1 = 1 liegende Karte und auf der Spitze 1 liegende Karte. Das ergibt 2 + 1 + 1 = 4 liegende Karten.Die Gesamtzahl der Karten ist also 17 stehende + 4 liegende = 21 Karten. Diese Methode hat jedoch einen Fehler, da sie nicht alle liegenden Karten auf der untersten und zweiten Ebene berücksichtigt. Die korrekte Anzahl, wie zuvor berechnet, ist 23 Karten.B. Ein Teil der Erklärung der Zählstrategien wurde bereits in Teil A gegeben, indem zwei verschiedene Methoden zur Zählung der Karten aufgezeigt wurden: eine durch Zählung pro Ebene und eine weitere durch separate Zählung der stehenden und liegenden Karten.C. Um einen allgemeinen Ausdruck für die Zahl der Karten in einem $$ n $$-stöckigen Kartenspielhaus zu finden, schauen wir uns das Muster der Anzahl der liegenden und stehenden Karten an. Im betrachteten 3-stöckigen Haus haben wir:- $$ n $$ stehende Karten für die Spitze jedes Dreiecks (pro Ebene um 1 weniger als die Zahl der Ebenen),- $$ (n-1) $$ liegende Karten für die Basis jedes Dreiecks (pro Ebene um 1 weniger als die Zahl der stehenden Karten).Wenn wir dies verallgemeinern, erhalten wir für ein $$ n $$-stöckiges Haus:- $$ \sum_{i=1}^{n} 2i $$ stehende Karten (weil jede Ebene 2 mehr stehende Karten als die vorherige hat)- $$ \sum_{i=1}^{n} (i-1) $$ liegende Karten (diese steigen pro Ebene ebenfalls inkrementell).Wenn wir diese beiden Summen kombinieren, erhalten wir als Formel für die Gesamtzahl der Karten $$ T $$ eines $$ n $$-stöckigen Kartenhauses:\[ T(n) = \sum_{i=1}^{n} 2i + \sum_{i=1}^{n} (i-1) \]\[ T(n) = \sum_{i=1}^{n} (2i + i - 1) \]\[ T(n) = \sum_{i=1}^{n} (3i - 1) \]Diese Summe entspricht:\[ T(n) = 3\sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} 1 \]\[ T(n) = 3\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - n \]Dabei ist $$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$ die Summe der ersten $$ n $$ natürlichen Zahlen und $$ \sum_{i=1}^{n} 1 = n $$ einfach die Summe von $$ n $$-mal der Zahl 1. Daraus ergibt sich die endgültige Formel für die Gesamtzahl der Karten in einem $$ n $$-stöckigen Kartenspielhaus:\[ T(n) = \frac{3n(n+1)}{2} - n \]\[ T(n) = \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} \]\[ T(n) = \frac{3n^2 + n}{2} \]
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