Question - Simplifying Mathematical Expressions

Vamos a resolver paso a paso cada una de las partes del ejercicio. El ejercicio implica el uso de propiedades de exponentes y simplificaciones. Empezaremos con la parte (a).

a) El problema es:

\[\left| \frac{2}{3} \cdot \left(- \frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{4} \right|^{-3}\]

Primero, evaluamos el producto dentro del valor absoluto:

\[\frac{2}{3} \cdot \left(- \frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{4}\]

Multipliquemos los numeradores y denominadores:

\[= \frac{2 \cdot (-3) \cdot 1}{3 \cdot 5 \cdot 4}\]

\[= \frac{-6}{60}\]

Ahora, simplificamos \(\frac{-6}{60}\) dividiendo ambos términos por 6:

\[= \frac{-1}{10}\]

Ahora, evaluamos el valor absoluto de \(\frac{-1}{10}\), que es \(\frac{1}{10}\). Por lo tanto:

\[\left| \frac{-1}{10} \right|^{-3} = \left( \frac{1}{10} \right)^{-3}\]

Utilizamos la propiedad de exponentes que dice que \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\):

\[\left( \frac{1}{10} \right)^{-3} = 10^3 = 1000\]

Por lo tanto, la respuesta para el inciso (a) es:

\[\boxed{1000}\]

b) Ahora vamos a abordar el inciso (b):

\[\frac{1}{2} \left( \frac{2}{7} \right)^{\frac{3}{2}} \div (3^{-4})\]

Primero, resolvamos la división:

\[\div (3^{-4}) = \cdot 3^4\] (ya que dividir por un número negativo es multiplicar por su recíproco)

Ahora, la expresión se convierte en:

\[\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot 3^4\]

Calculamos \(3^4\):

\[= 81\]

Entonces la expresión se transforma a:

\[\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot 81\]

Ahora, resolvemos \(\left( \frac{2}{7} \right)^{\frac{3}{2}}\):

\[= \frac{2^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{7\sqrt{7}}\]

Al final, nuestra expresión es:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{7\sqrt{7}} \cdot 81\]

Multiplicamos:

\[= \frac{81\sqrt{2}}{7\sqrt{7}}\] (el 1/2 y 2 se simplifican)

Por lo tanto, la respuesta para el inciso (b) es:

\[\boxed{\frac{81\sqrt{2}}{7\sqrt{7}}}\]

c) Finalmente, resolvemos el inciso (c):

\[\left| \left( \frac{5}{4} \right)^3 \right|^{-1}\]

Ya que \(\left( \frac{5}{4} \right)^3\) es un número positivo, el valor absoluto no cambia el resultado:

\[\left( \frac{5}{4} \right)^3\]

Calculamos \(\left( \frac{5}{4} \right)^3\):

\[= \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}\]

Entonces, aplicar el exponente negativo:

\[\left( \frac{125}{64} \right)^{-1} = \frac{64}{125}\]

Por lo tanto, la respuesta para el inciso (c) es:

\[\boxed{\frac{64}{125}}\]

Para resumir, las respuestas son:

a) \(1000\), b) \(\frac{81\sqrt{2}}{7\sqrt{7}}\), c) \(\frac{64}{125}\)