Example Question - margin of error
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Sample Size for Proportion with Confidence Interval
Para resolver la segunda parte del ejercicio, necesitamos determinar el tamaño de muestra requerido para lograr un error de margen del 1.96% con un nivel de confianza del 94.5%. La fórmula general para calcular el tamaño de muestra para una proporción es la siguiente: \[ n = \left( \dfrac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2} \right) \] Donde: - \( n \) es el tamaño de muestra deseado - \( Z \) es el valor z correspondiente al nivel de confianza deseado - \( p \) es la proporción estimada (en este caso, sería el resultado de la muestra anterior, \( \dfrac{114}{200} \)) - \( E \) es el error de margen deseado Primero, encontramos el valor \( Z \) para un nivel de confianza del 94.5%, que corresponde aproximadamente a \( Z = 1.96 \) (para un nivel de confianza del 95%, que es el más cercano comúnmente tabulado y considerando que la diferencia es mínima). Tomamos la proporción estimada de la muestra previa \[ p = \dfrac{114}{200} = 0.57 \]. El error de margen deseado \( E \) es del 1.96%, o \( E = 0.0196 \). Sustituimos los valores en la fórmula: \[ n = \left( \dfrac{1.96^2 \cdot 0.57 \cdot (1-0.57)}{0.0196^2} \right) \] Hacemos los cálculos: \[ n = \left( \dfrac{3.8416 \cdot 0.57 \cdot 0.43}{0.00038416} \right) \] \[ n = \left( \dfrac{3.8416 \cdot 0.24471}{0.00038416} \right) \] \[ n = \dfrac{0.940007976}{0.00038416} \] \[ n \approx 2447.87 \] Por lo tanto, se necesitaría una muestra de aproximadamente 2448 votantes para lograr un error de margen del 1.96% con un nivel de confianza del 94.5%. Redondeamos al número entero más próximo porque no se puede tener una fracción de un participante en la muestra.
Calculating Sample Size for Margin of Error
Para resolver la segunda parte del problema, debemos calcular el tamaño de muestra necesario para alcanzar un error de margen de 1%. Para hacer esto, usamos la fórmula para el tamaño de muestra en una estimación de proporción con un nivel de confianza del 94.5%. La fórmula es la siguiente: \( n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} * \sqrt{p(1-p)}}{E} \right)^2 \) donde: - \( n \) es el tamaño de la muestra deseado. - \( Z_{\alpha/2} \) es el valor Z correspondiente al nivel de confianza deseado. Para un nivel de confianza del 94.5%, \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente 1.96 (esto sería correcto para un nivel de confianza del 95%, pero como no hemos sido proporcionados con una tabla Z, utilizaremos este valor para aproximación). - \( p \) es la proporción estimada de la muestra. En este caso, de la muestra de 200 votantes, 114 apoyan la propuesta, así que \( p = \frac{114}{200} = 0.57 \). - \( E \) es el margen de error deseado, que en este caso es 0.01 (o 1%). Sustituimos los valores en la fórmula: \( n = \left( \frac{1.96 * \sqrt{0.57(1-0.57)}}{0.01} \right)^2 \) Calculamos dentro del paréntesis primero: \( \sqrt{0.57(1-0.57)} = \sqrt{0.57 * 0.43} \) \( \sqrt{0.57 * 0.43} \approx \sqrt{0.2451} \) \( \sqrt{0.2451} \approx 0.4951 \) Ahora multiplicamos por el valor Z: \( 1.96 * 0.4951 \approx 0.9702 \) Finalmente, elevamos al cuadrado el resultado de dividir este producto por el margen de error \( E \): \( n = (0.9702 / 0.01)^2 \) \( n = 97.02^2 \) \( n \approx 9418.92 \) Para llegar a una muestra que tenga un error de margen de solo 1%, necesitaríamos aproximadamente 9419 votantes (redondeando hacia arriba, ya que no podemos tener una fracción de un votante). Por lo tanto, se requiere un tamaño de muestra de aproximadamente 9419 votantes para tener un error del 1% en la estimación de la proporción con un nivel de confianza del 94.5%.
Estimating Sample Size for Proportion Estimation
Para estimar el tamaño necesario de la muestra para una proporción con un cierto nivel de confianza y un margen de error, se puede usar la fórmula del tamaño de la muestra para proporciones: \[ n = \left(\frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}\right) \] Donde: - \( n \) es el tamaño de la muestra. - \( Z \) es el valor z para el nivel de confianza deseado (para un nivel de confianza del 90%, se usa \( Z = 1.645 \), esto corresponde al valor crítico z que tiene 5% en dos colas distribuidas normalmente (90% en medio y 5% en cada extremo)). - \( p \) es la proporción esperada (en este caso, la probabilidad de ocurrencia de embarazos de 20% o 0.2). - \( E \) es el margen de error permitido expresado como decimal (para un error del 10%, \( E = 0.10 \)). Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos: \[ n = \left(\frac{(1.645)^2 \cdot 0.2 \cdot (1-0.2)}{(0.10)^2}\right) \] Ahora, realizamos las operaciones correspondientes: 1. \( (1.645)^2 = 2.70602 \) 2. \( 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \) 3. \( (0.10)^2 = 0.01 \) Multiplicamos los resultados de los pasos 1 y 2, y luego dividimos por el resultado del paso 3: \[ n = \left(\frac{2.70602 \cdot 0.16}{0.01}\right) \] \[ n = \left(\frac{0.4329632}{0.01}\right) \] \[ n = 43.29632 \] Como el tamaño de la muestra no puede ser fraccionario, se redondea al número entero más cercano. Si se desea ser conservador y garantizar el nivel de confianza y el margen de error, se debe redondear hacia arriba: \[ n ≈ 44 \] Por lo tanto, se necesitarían al menos 44 adolescentes embarazadas para estudiar y estimar la proporción de casos de violencia en una población de embarazadas con un nivel de confianza del 90% y un error máximo admitido del 10%.
Calculating Sample Size for Estimating Proportion with Confidence
Para resolver esta pregunta, debemos calcular el tamaño de la muestra necesario utilizando la siguiente fórmula para estimar una proporción con un cierto grado de confianza y un error máximo permitido: \[ n = \frac{{Z^2 \cdot p \cdot (1 - p)}}{{E^2}} \] donde: - \( n \) es el tamaño de la muestra. - \( Z \) es el valor Z asociado con el nivel de confianza deseado. - \( p \) es la probabilidad estimada del evento de interés (proporción esperada de casos de violencia). - \( E \) es el error máximo permitido (margen de error). Entonces, según los datos del problema: - Nivel de confianza del 90% → \( Z = 1.645 \) (proporcionado en la pregunta). - Probabilidad de ocurrencia de embarazos del 20% → \( p = 0.2 \). - Error máximo admitido del 10% → \( E = 0.1 \). Ahora reemplazamos estos valores en la fórmula: \[ n = \frac{{(1.645)^2 \cdot 0.2 \cdot (1 - 0.2)}}{{(0.1)^2}} \] \[ n = \frac{{2.706025 \cdot 0.2 \cdot 0.8}}{{0.01}} \] \[ n = \frac{{2.706025 \cdot 0.16}}{{0.01}} \] \[ n = \frac{{0.432964}}{0.01} \] \[ n = 43.2964 \] Dado que no puedes tener una fracción de una persona en términos de tamaño de muestra, redondeas al número entero más próximo. Por lo tanto, necesitarás estudiar 44 adolescentes embarazadas para estimar la proporción de casos de violencia con un nivel de confianza del 90% y un error máximo admitido del 10%.
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