Question - Estimating Sample Size for Proportion Estimation
Solution:
Para estimar el tamaño necesario de la muestra para una proporción con un cierto nivel de confianza y un margen de error, se puede usar la fórmula del tamaño de la muestra para proporciones:\[ n = \left(\frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}\right) \]Donde:- $$ n $$ es el tamaño de la muestra.- $$ Z $$ es el valor z para el nivel de confianza deseado (para un nivel de confianza del 90%, se usa $$ Z = 1.645 $$, esto corresponde al valor crítico z que tiene 5% en dos colas distribuidas normalmente (90% en medio y 5% en cada extremo)).- $$ p $$ es la proporción esperada (en este caso, la probabilidad de ocurrencia de embarazos de 20% o 0.2).- $$ E $$ es el margen de error permitido expresado como decimal (para un error del 10%, $$ E = 0.10 $$).Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos:\[ n = \left(\frac{(1.645)^2 \cdot 0.2 \cdot (1-0.2)}{(0.10)^2}\right) \]Ahora, realizamos las operaciones correspondientes:1. $$ (1.645)^2 = 2.70602 $$2. $$ 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 $$3. $$ (0.10)^2 = 0.01 $$Multiplicamos los resultados de los pasos 1 y 2, y luego dividimos por el resultado del paso 3:\[ n = \left(\frac{2.70602 \cdot 0.16}{0.01}\right) \]\[ n = \left(\frac{0.4329632}{0.01}\right) \]\[ n = 43.29632 \]Como el tamaño de la muestra no puede ser fraccionario, se redondea al número entero más cercano. Si se desea ser conservador y garantizar el nivel de confianza y el margen de error, se debe redondear hacia arriba:\[ n ≈ 44 \]Por lo tanto, se necesitarían al menos 44 adolescentes embarazadas para estudiar y estimar la proporción de casos de violencia en una población de embarazadas con un nivel de confianza del 90% y un error máximo admitido del 10%.
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