Example Question - limits
Here are examples of questions we've helped users solve.
Piecewise Function Analysis
<p>Para analizar la función dada, vamos a considerar los dos casos.</p> <p>Para \( x > 1 \):</p> <p>\( f(x) = \frac{x^3 - a^3}{x - a} \)</p> <p>Este se puede simplificar usando la factorización de la diferencia de cubos:</p> <p>\( f(x) = \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}{x - a} = x^2 + ax + a^2 \) (para \( x \neq a \)).</p> <p>Para \( x < 1 \):</p> <p>\( f(x) = \frac{3\sqrt{x} - 3\sqrt{a}}{x - a} \)</p> <p>Podemos factorizar el numerador de la misma manera si es necesario para un análisis adicional.</p> <p>La continuidad de la función puede revisarse evaluando el límite de ambas ramas en \( x = 1 \) y comparando los valores de \( f(1) \) en ambas partes si se define.</p>
Approaching Limits Problem
<p>L'expression est : \(\lim_{{x \to +\infty}} 2 \left(\frac{1}{2x}\right)\)</p> <p>Pour résoudre cette limite, nous pouvons simplifier l'expression :</p> <p>\(\lim_{{x \to +\infty}} 2 \left(\frac{1}{2x}\right) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2}{2x}\)</p> <p>Nous pouvons simplifier davantage en divisant par 2 :</p> <p>\(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{2}{2x} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x}\)</p> <p>Lorsque \(x\) tend vers l'infini, \(\frac{1}{x}\) tend vers 0. Donc la limite est :</p> <p>\(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0\)</p>
Calculus Problem Related to Limits and Continuity
由于图片中的文字不够清晰，我无法看清具体的数学问题和表达式。因此，提供准确解答的能力受到限制。如果你能提供更清晰的图片或者用文字描述问题，我会很乐意帮助解决数学问题。
Analysis of Functions' Discontinuities
Claro, primero analicemos la gráfica de la izquierda, que corresponde a la función f(x). Observamos que hay un punto de discontinuidad en x = 0. Esto se debe a que la gráfica tiene un salto en ese punto; es decir, el límite de la función f(x) cuando x se aproxima a 0 desde la izquierda no es igual al límite de la función cuando x se aproxima a 0 desde la derecha. Ahora, analicemos la gráfica de la derecha, que corresponde a la función g(x) = 1/(x^2+1). Podemos ver que la función es continua en todo su dominio. La gráfica no presenta saltos, asíntotas ni huecos; por lo tanto, no hay discontinuidades en esta función. En resumen: - La función f(x) tiene una discontinuidad en x = 0. - La función g(x) no presenta discontinuidades.
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