Example Question - integration method
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculation of Solid Volume Using Disk Method
El problema nos pide calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva \( y = \frac{10}{x^2} \), el eje \( x \), el eje \( y \) y la línea \( x = 2 \) alrededor del eje \( x \) utilizando el método del disco. El método de disco se utiliza cuando se gira una región alrededor de un eje y se forma un sólido de revolución. La fórmula para el volumen \( V \) de un disco de radio \( r \) y grosor infinitesimal \( dx \) es: \[ dV = \pi r^2 dx \] Para encontrar el volumen del sólido completo, integramos esta expresión entre los límites de integración dados por los valores de \( x \) que acotan la región: \[ V = \int \pi r(x)^2 dx \] Aquí, \( r(x) \) es la función que describe la distancia desde el eje de rotación (en este caso, el eje \( x \)) hasta el límite externo de la región que estamos rotando. En este caso, la función es \( r(x) = y = \frac{10}{x^2} \). Los límites de integración son desde \( x = 1 \) hasta \( x = 2 \), ya que esos son los valores de \( x \) que acotan la región dada. Sustituimos \( r(x) \) en la fórmula y hacemos la integración entre 1 y 2: \[ V = \int_1^2 \pi \left(\frac{10}{x^2}\right)^2 dx = \int_1^2 \pi \left(\frac{100}{x^4}\right) dx \] Integramos la función con respecto a \( x \): \[ V = \pi \int_1^2 \frac{100}{x^4} dx \] \[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \frac{1}{x^3} \right]_1^2 \] \[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( \frac{1}{2^3} - \frac{1}{1^3} \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( \frac{1}{8} - 1 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( -\frac{7}{8} \right) \right] \] \[ V = \pi \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{7}{8} \] \[ V = \pi \cdot \frac{700}{24} \] \[ V = \frac{700\pi}{24} \] \[ V = \frac{175\pi}{6} \] Por lo tanto, el volumen del sólido generado es \( \frac{175\pi}{6} \) unidades cúbicas.
Solving Integral of x
Para resolver la integral proporcionada, \(\int_0^a xdx\), utilizaremos el método de integración básico para potencias de x. La integral de \( x \) con respecto a \( x \) es \( \frac{x^2}{2} \), por lo tanto, al evaluar esta integral desde 0 hasta \( a \), obtenemos: \[\left [ \frac{x^2}{2} \right ]_0^a\] Esto significa que debemos sustituir \( a \) en la expresión y luego restar el resultado de sustituir 0: \( \frac{a^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{a^2}{2} - 0 = \frac{a^2}{2} \) La respuesta es \( \frac{a^2}{2} \), lo que corresponde a la opción (d).
Solution to a Differential Equation Problem with Initial Value
这张图片显示了一个关于求解微分方程的数学问题，以及该问题中完成的部分求解步骤。 该微分方程为 \(\frac{dy}{dx} = x(y - 2)\)，给定了初值条件 \(y(2) = 3\)。要求的是微分方程的解。 从图片上可见，解题的过程已经开始。这是一个可分离变量的微分方程。解题步骤如下： \[ \frac{1}{y - 2}dy = xdx \] 两边积分可得： \[ \ln|y - 2| = \frac{1}{2}x^2 + C \] 为了求出常数 C，我们使用初值条件 \(y(2) = 3\)： \[ \ln|3 - 2| = \frac{1}{2}(2)^2 + C \Rightarrow \ln(1) = 2 + C \Rightarrow C = -2 \] 因为 \(\ln(1) = 0\)，所以我们有： \[ \ln|y - 2| = \frac{1}{2}x^2 - 2 \] 解决绝对值，得到两个潜在解，但我们只关注实际符合初始条件的解： \[ y - 2 = e^{\frac{1}{2}x^2 - 2} \] 进一步解得： \[ y = e^{\frac{1}{2}x^2 - 2} + 2 \] 通过检查选项，我们可以看到 A、B、C 三个选项都有公式 \(2 + e^{\text{something}}\) 的形式，但我们需要找到形式为 \(2 + e^{\frac{1}{2}x^2 - 2}\) 的解。将 \(e^{-2}\) 写为 \(e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot e^{-2}\)，我们可以把它简化为 \(e^{\frac{1}{2}x^2 }\cdot \frac{1}{e^2}\) 或者 \(e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot e^{-2}\)。由于 \(e^{-2}\) 是一个常数，我们可以使用 \(e^{-2}\) 替换它。 通过匹配我们的解答与给定的选项，我们可以发现选项 B（\(2 + e^{(\frac{1}{2}x^2) - 2}\)）与我们的解相符。 因此，答案为 B。
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