Question - Calculation of Solid Volume Using Disk Method
Solution:
El problema nos pide calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva $$ y = \frac{10}{x^2} $$, el eje $$ x $$, el eje $$ y $$ y la línea $$ x = 2 $$ alrededor del eje $$ x $$ utilizando el método del disco.El método de disco se utiliza cuando se gira una región alrededor de un eje y se forma un sólido de revolución. La fórmula para el volumen $$ V $$ de un disco de radio $$ r $$ y grosor infinitesimal $$ dx $$ es:\[ dV = \pi r^2 dx \]Para encontrar el volumen del sólido completo, integramos esta expresión entre los límites de integración dados por los valores de $$ x $$ que acotan la región:\[ V = \int \pi r(x)^2 dx \]Aquí, $$ r(x) $$ es la función que describe la distancia desde el eje de rotación (en este caso, el eje $$ x $$) hasta el límite externo de la región que estamos rotando. En este caso, la función es $$ r(x) = y = \frac{10}{x^2} $$.Los límites de integración son desde $$ x = 1 $$ hasta $$ x = 2 $$, ya que esos son los valores de $$ x $$ que acotan la región dada.Sustituimos $$ r(x) $$ en la fórmula y hacemos la integración entre 1 y 2:\[ V = \int_1^2 \pi \left(\frac{10}{x^2}\right)^2 dx = \int_1^2 \pi \left(\frac{100}{x^4}\right) dx \]Integramos la función con respecto a $$ x $$:\[ V = \pi \int_1^2 \frac{100}{x^4} dx \]\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \frac{1}{x^3} \right]_1^2 \]\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( \frac{1}{2^3} - \frac{1}{1^3} \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( \frac{1}{8} - 1 \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( -\frac{7}{8} \right) \right] \]\[ V = \pi \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{7}{8} \]\[ V = \pi \cdot \frac{700}{24} \]\[ V = \frac{700\pi}{24} \]\[ V = \frac{175\pi}{6} \]Por lo tanto, el volumen del sólido generado es $$ \frac{175\pi}{6} $$ unidades cúbicas.
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