Question - Solution to a Differential Equation Problem with Initial Value
Solution:
这张图片显示了一个关于求解微分方程的数学问题，以及该问题中完成的部分求解步骤。该微分方程为 $$\frac{dy}{dx} = x(y - 2)$$，给定了初值条件 $$y(2) = 3$$。要求的是微分方程的解。从图片上可见，解题的过程已经开始。这是一个可分离变量的微分方程。解题步骤如下：$$\frac{1}{y - 2}dy = xdx$$两边积分可得：$$\ln|y - 2| = \frac{1}{2}x^2 + C$$为了求出常数 C，我们使用初值条件 $$y(2) = 3$$：$$\ln|3 - 2| = \frac{1}{2}(2)^2 + C \Rightarrow \ln(1) = 2 + C \Rightarrow C = -2$$因为 $$\ln(1) = 0$$，所以我们有：$$\ln|y - 2| = \frac{1}{2}x^2 - 2$$解决绝对值，得到两个潜在解，但我们只关注实际符合初始条件的解：$$y - 2 = e^{\frac{1}{2}x^2 - 2}$$进一步解得：$$y = e^{\frac{1}{2}x^2 - 2} + 2$$通过检查选项，我们可以看到 A、B、C 三个选项都有公式 $$2 + e^{\text{something}}$$ 的形式，但我们需要找到形式为 $$2 + e^{\frac{1}{2}x^2 - 2}$$ 的解。将 $$e^{-2}$$ 写为 $$e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot e^{-2}$$，我们可以把它简化为 $$e^{\frac{1}{2}x^2 }\cdot \frac{1}{e^2}$$ 或者 $$e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot e^{-2}$$。由于 $$e^{-2}$$ 是一个常数，我们可以使用 $$e^{-2}$$ 替换它。通过匹配我们的解答与给定的选项，我们可以发现选项 B（$$2 + e^{(\frac{1}{2}x^2) - 2}$$）与我们的解相符。因此，答案为 B。
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