Question - Calculating Heights and Velocities in Vertical Projectile Motion
Solution:
Per risolvere la domanda presente nell'immagine, occorre utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato (caduta dei gravi), assumendo che l'accelerazione dovuta alla gravità sia g = 9,81 m/s² e trascurando la resistenza dell'aria.La domanda posta nell'immagine dice:"Un uomo che sta sul tetto di un edificio lancia una palla verticalmente verso l'alto; con velocità 12,2 m/s e la palla tocca terra dopo 4,25 s.Quale è la quota più alta raggiunta dalla palla?Quanto è alto l'edificio?Con quale velocità la palla tocca terra?"Per calcolare la quota più alta raggiunta dalla palla, possiamo usare la seguente formula del moto uniformemente accelerato per un corpo lanciato verticalmente verso l'alto:h_max = v_0^2 / (2 * g)dove h_max è l'altezza massima, v_0 è la velocità iniziale di lancio e g è l'accelerazione di gravità.Sostituendo i valori noti:h_max = (12,2 m/s)^2 / (2 * 9,81 m/s²) = 149,44 m²/s² / 19,62 m/s² ≈ 7,62 mQuindi, la quota più alta raggiunta dalla palla è di circa 7,62 metri.Per trovare l'altezza dell'edificio, possiamo usare la formula del tempo di volo totale per un corpo lanciato verticalmente:t_tot = (v_0 / g) + √(2 * h / g)Risolvendo per h (altezza dell'edificio):h = (t_tot - v_0 / g)² * g / 2Sappiamo che il tempo totale è di 4,25 s. Sostituendo i valori noti nella formula:h = [(4,25 s - 12,2 m/s / 9,81 m/s²)]² * 9,81 m/s² / 2h = [(4,25 s - 1,243 s)]² * 9,81 m/s² / 2h = (3,007 s)² * 9,81 m/s² / 2h = 9,042 s² * 9,81 m/s² / 2h ≈ 88,34 mL'altezza dell'edificio è quindi di circa 88,34 metri.Infine, per la velocità con cui la palla tocca terra, possiamo usare la formula della velocità finale nel moto uniformemente accelerato nel caso di caduta libera (considerando che la velocità sarà negativa quando tocca terra perché è diretta verso il basso):v = v_0 - g * tIl tempo di caduta dal punto più alto è dato da:t_caduta = t_tot - t_salita = 4,25 s - 1,243 s ≈ 3,007 sSostituendo i valori per trovare v:v = 12,2 m/s - 9,81 m/s² * 3,007 sv ≈ 12,2 m/s - 29,49 m/sv ≈ -17,29 m/sLa velocità con cui la palla tocca terra è di circa 17,29 m/s, diretta verso il basso (indicata qui come negativa per convenzione).
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