Question - Approximating Differential Equations with Euler Method
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Solution:
让我们使用Euler方法来近似差分方程的解。已知的差分方程是：\[ \frac{dy}{dx} = 2xy - x \]并且给定了初值条件 $$ y(1) = 0 $$。我们需要使用Euler方法从 $$ x = 1 $$ 开始，采取两步，每一步的大小为1，来估算 $$ y(3) $$。Euler方法根据下面的公式来估计函数的值：\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]在这里，$$ h $$ 是步长（在这个问题中，步长 $$ h = 1 $$），而 $$ f(x, y) $$ 是给定的差分方程右侧的表达式。按照Euler方法的步骤，我们有：1. 第一步，从 $$ x = 1 $$ 到 $$ x = 2 $$: - 使用初值条件：$$ x_1 = 1 $$， $$ y_1 = y(1) = 0 $$。 - 代入差分方程： $$ f(x_1, y_1) = f(1, 0) = 2(1)(0) - 1 = -1 $$。 - 计算 $$ y $$ 的下一个值：$$ y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 0 + 1 \cdot (-1) = -1 $$。2. 第二步，从 $$ x = 2 $$ 到 $$ x = 3 $$: - 使用 $$ x_2 = 2 $$， $$ y_2 = -1 $$。 - 代入差分方程： $$ f(x_2, y_2) = f(2, -1) = 2(2)(-1) - 2 = -6 $$。 - 计算 $$ y $$ 的下一个值：$$ y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = -1 + 1 \cdot (-6) = -7 $$。所以用Euler方法估算的 $$ y(3) \approx -7 $$。问题的选择答案是：(A) $$\frac{9}{2}$$ (B) $$ -\frac{7}{4} $$ (C) 3 (D) 2正确答案是 $$ y(3) = -7 $$，但这个值并不在提供的选项里。看上去像是题目有误或者是答案选项中有误。按照我们的计算，没有任何一个选项与计算结果相匹配。
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