Example Question - euclidean algorithm
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Greatest Common Divisor (GCD) - Chocolate Distribution Calculation
Para resolver esta pregunta, tenemos que encontrar el máximo común divisor (MCD) entre el número de barras de chocolate que tienen Pablo y Mariana, que son 34 y 18 respectivamente. El MCD es el número más grande que divide a ambos números sin dejar residuo. Para encontrar el MCD de 34 y 18, podemos usar el algoritmo de Euclides, que consiste en dividir el número más grande entre el más pequeño y luego dividir el divisor entre el residuo. Repetimos este proceso hasta que el residuo sea cero. El último divisor es el MCD. Comenzamos dividiendo 34 entre 18: 34 = 18 * 1 + 16 Luego dividimos 18 entre el residuo anterior, 16: 18 = 16 * 1 + 2 Continuamos dividiendo el último divisor, 16, entre el residuo, 2: 16 = 2 * 8 + 0 Como llegamos a un residuo de cero, el último divisor antes del cero, que es 2, es nuestro MCD. Esto significa que Pablo y Mariana pueden repartir los chocolates en grupos de 2 barras cada uno para que cada familia reciba la misma cantidad y sea la mayor posible. Entonces, si queremos saber a cuántos familiares repartirán dulces cada uno: Pablo tiene 34 barras, y al repartirlas de a 2, dará a: 34 / 2 = 17 familiares Mariana tiene 18 barras, y al repartirlas de a 2, dará a: 18 / 2 = 9 familiares En conclusión, Pablo repartirá chocolates a 17 familiares y Mariana a 9 familiares, repartiendo 2 barras de chocolate a cada familiar.
Mathematical Problems: Greatest Common Divisor and Number of Divisors
Die Aufgabe scheint aus einem Mathematikbuch zu stammen und lautet in Deutsch (unter Verwendung des Sprachcodes "de"): Übung 9.2 d: Bestimmen Sie den ggT(12328, 9820) einmal mit der koordinierten Primfaktorzerlegung und einmal mit dem euklidischen Algorithmus. Vergleichen Sie den Aufwand. Übung 9.2 e: Wie viele Teiler hat 1000? Können Sie eine andere Zweierpotenz finden, die viermal so viele Teiler wie 1000 hat? Lassen Sie uns die Aufgaben der Reihe nach angehen: Übung 9.2 d: Es gibt zwei Methoden, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen zu finden: 1. Koordinierte Primfaktorzerlegung: Zuerst zerlegen wir 12328 und 9820 in ihre Primfaktoren. 12328 = 2^3 * 1541 Da 1541 eine Primzahl ist, ist das die vollständige Zerlegung für 12328. 9820 = 2^2 * 5 * 491 Auch 491 ist eine Primzahl, somit ist dies die vollständige Zerlegung für 9820. Um den ggT zu finden, nehmen wir die gemeinsamen Primfaktoren in der niedrigsten Potenz: ggT(12328, 9820) = 2^2 = 4 2. Euklidischer Algorithmus: Wir verwenden den Euklidischen Algorithmus, indem wir wiederholt die größere Zahl durch die kleinere teilen und den Rest verwenden: 12328 = 9820 * 1 + 2508 9820 = 2508 * 3 + 2296 2508 = 2296 * 1 + 212 2296 = 212 * 10 + 176 212 = 176 * 1 + 36 176 = 36 * 4 + 32 36 = 32 * 1 + 4 32 = 4 * 8 Sobald der Rest null ist, ist der ggT die letzte nicht-null Restzahl, in diesem Fall 4. Vergleich des Aufwands: Die koordinierte Primfaktorzerlegung kann für große Zahlen sehr aufwendig sein, besonders wenn man die Primfaktoren nicht kennt. Der euklidische Algorithmus hingegen ist in der Regel schneller, vor allem bei großen Zahlen, da keine Primfaktorzerlegung nötig ist. Übung 9.2 e: 1. Die Zahl 1000 hat die Primfaktorzerlegung 1000 = 2^3 * 5^3. Die Anzahl der Teiler einer Zahl bekommt man durch das Addieren von 1 zu jeder Exponenten in der Primfaktorzerlegung und Multiplikation der Ergebnisse: (3 + 1) * (3 + 1) = 4 * 4 = 16 1000 hat also 16 Teiler. 2. Wir suchen eine Zweierpotenz, die viermal so viele Teiler wie 1000 hat, also 16 * 4 = 64 Teiler. Eine Zweierpotenz hat die Form 2^n. Die Anzahl der Teiler ist n + 1 (da der Exponent 0 bei der Teileranzahl beachtet werden muss). Wir setzen n + 1 = 64. n = 63. Die Zweierpotenz 2^63 hat 64 Teiler und ist die gesuchte Zahl.
Finding Greatest Common Divisor (GCD) with Primality Decomposition and Euclidean Algorithm
Die Aufgabe besteht darin, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) für drei Paare von Zahlen zu finden, einmal mit Hilfe der Primfaktorzerlegung und einmal mit dem euklidischen Algorithmus. Lassen Sie uns die Berechnung für jedes Paar durchführen: a) ggT(866, 78) **Primfaktorzerlegung:** - 866 = 2 x 433 - 78 = 2 x 3 x 13 Der einzige gemeinsame Faktor ist 2, folglich ist der ggT(866, 78) = 2. **Euklidischer Algorithmus:** - 866 = 78 x 11 + 8 - 78 = 8 x 9 + 6 - 8 = 6 x 1 + 2 - 6 = 2 x 3 + 0 Hier können wir sehen, dass der Rest Null wird, wenn wir 6 durch 2 teilen. Daher ist der ggT(866, 78) = 2. b) ggT(1197, 1449) **Primfaktorzerlegung:** - 1197 = 3 x 3 x 7 x 19 - 1449 = 3 x 13 x 37 Beide Zahlen haben die Primzahl 3 als gemeinsamen Faktor. Da 3 zweimal in 1197 vorkommt, aber nur einmal in 1449, ist der ggT(1197, 1449) = 3. **Euklidischer Algorithmus:** - 1449 = 1197 x 1 + 252 - 1197 = 252 x 4 + 189 - 252 = 189 x 1 + 63 - 189 = 63 x 3 + 0 Der Rest wird 0, wenn wir 189 durch 63 teilen, also ist der ggT(1197, 1449) = 63. c) ggT(2061, 4910) **Primfaktorzerlegung:** - 2061 = 3 x 3 x 229 - 4910 = 2 x 5 x 491 Es gibt hier keine gemeinsamen Primfaktoren, daher ist der ggT(2061, 4910) = 1. **Euklidischer Algorithmus:** - 4910 = 2061 x 2 + 788 - 2061 = 788 x 2 + 485 - 788 = 485 x 1 + 303 - 485 = 303 x 1 + 182 - 303 = 182 x 1 + 121 - 182 = 121 x 1 + 61 - 121 = 61 x 1 + 60 - 61 = 60 x 1 + 1 - 60 = 1 x 60 + 0 Da der Rest Null wird, wenn wir 60 durch 1 teilen, ist der ggT(2061, 4910) = 1.
Maximizing Fruit Packing Efficiency
El ejercicio solicita que se empacan 12,028 manzanas y 12,772 naranjas en cajas de tal manera que cada caja contenga el mismo número de manzanas y naranjas, además de que este número sea el mayor posible. Esto nos indica que debemos buscar el máximo común divisor (MCD) de ambos números para encontrar el número de frutas que podrá contener cada caja y así también determinar el número de cajas necesarias. Para encontrar el MCD de 12,028 y 12,772, podemos usar el algoritmo de Euclides: 1. Dividimos el número mayor entre el número menor: 12,772 ÷ 12,028 = 1, con un residuo de 744 2. Dividimos el divisor anterior (12,028) entre el residuo (744): 12,028 ÷ 744 = 16, con un residuo de 140 3. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (744) como divisor y el nuevo residuo (140) como dividendo: 744 ÷ 140 = 5, con un residuo de 44 4. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (140) como divisor y el nuevo residuo (44) como dividendo: 140 ÷ 44 = 3, con un residuo de 8 5. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (44) como divisor y el nuevo residuo (8) como dividendo: 44 ÷ 8 = 5, con un residuo de 4 6. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (8) como divisor y el nuevo residuo (4) como dividendo: 8 ÷ 4 = 2, con un residuo de 0 Cuando llegamos a un residuo de 0, significa que el último divisor (4 en este caso) es el MCD de los dos números originales. Entonces, cada caja puede contener 4 manzanas y 4 naranjas. Ahora, dividimos el número total de manzanas y naranjas por 4 para obtener el número de cajas necesarias: - Manzanas: 12,028 ÷ 4 = 3,007 cajas - Naranjas: 12,772 ÷ 4 = 3,193 cajas Esto significa que necesitaremos un total de 3,007 cajas para las manzanas y 3,193 cajas para las naranjas, y cada caja contendrá 4 manzanas y 4 naranjas, respectivamente.
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