Question - Mathematical Problems: Greatest Common Divisor and Number of Divisors
Solution:
Die Aufgabe scheint aus einem Mathematikbuch zu stammen und lautet in Deutsch (unter Verwendung des Sprachcodes "de"):Übung 9.2 d: Bestimmen Sie den ggT(12328, 9820) einmal mit der koordinierten Primfaktorzerlegung und einmal mit dem euklidischen Algorithmus. Vergleichen Sie den Aufwand.Übung 9.2 e: Wie viele Teiler hat 1000? Können Sie eine andere Zweierpotenz finden, die viermal so viele Teiler wie 1000 hat?Lassen Sie uns die Aufgaben der Reihe nach angehen:Übung 9.2 d: Es gibt zwei Methoden, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen zu finden:1. Koordinierte Primfaktorzerlegung: Zuerst zerlegen wir 12328 und 9820 in ihre Primfaktoren. 12328 = 2^3 * 1541 Da 1541 eine Primzahl ist, ist das die vollständige Zerlegung für 12328. 9820 = 2^2 * 5 * 491 Auch 491 ist eine Primzahl, somit ist dies die vollständige Zerlegung für 9820. Um den ggT zu finden, nehmen wir die gemeinsamen Primfaktoren in der niedrigsten Potenz: ggT(12328, 9820) = 2^2 = 42. Euklidischer Algorithmus: Wir verwenden den Euklidischen Algorithmus, indem wir wiederholt die größere Zahl durch die kleinere teilen und den Rest verwenden: 12328 = 9820 * 1 + 2508 9820 = 2508 * 3 + 2296 2508 = 2296 * 1 + 212 2296 = 212 * 10 + 176 212 = 176 * 1 + 36 176 = 36 * 4 + 32 36 = 32 * 1 + 4 32 = 4 * 8 Sobald der Rest null ist, ist der ggT die letzte nicht-null Restzahl, in diesem Fall 4. Vergleich des Aufwands: Die koordinierte Primfaktorzerlegung kann für große Zahlen sehr aufwendig sein, besonders wenn man die Primfaktoren nicht kennt. Der euklidische Algorithmus hingegen ist in der Regel schneller, vor allem bei großen Zahlen, da keine Primfaktorzerlegung nötig ist.Übung 9.2 e: 1. Die Zahl 1000 hat die Primfaktorzerlegung 1000 = 2^3 * 5^3. Die Anzahl der Teiler einer Zahl bekommt man durch das Addieren von 1 zu jeder Exponenten in der Primfaktorzerlegung und Multiplikation der Ergebnisse: (3 + 1) * (3 + 1) = 4 * 4 = 16 1000 hat also 16 Teiler.2. Wir suchen eine Zweierpotenz, die viermal so viele Teiler wie 1000 hat, also 16 * 4 = 64 Teiler. Eine Zweierpotenz hat die Form 2^n. Die Anzahl der Teiler ist n + 1 (da der Exponent 0 bei der Teileranzahl beachtet werden muss). Wir setzen n + 1 = 64. n = 63. Die Zweierpotenz 2^63 hat 64 Teiler und ist die gesuchte Zahl.
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