Example Question - calculating combinations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Combinations and Permutations from a Set
Đầu tiên, chúng ta cần xác định số phần tử của tập hợp A. Tập hợp A gồm các số tự nhiên từ 1 đến 7, nên có 7 phần tử. Tiếp theo, ta cần tìm số cách lập một số có 5 chữ số đôi một khác nhau từ 7 chữ số này. Một số có 5 chữ số đôi một khác nhau có thể được hình thành bằng cách chọn ra 5 trong 7 chữ số của A, sau đó sắp xếp chúng theo thứ tự bất kỳ. Số cách chọn 5 chữ số trong 7 chữ số là tổ hợp chập 5 của 7, ký hiệu là C(7,5). Công thức tổ hợp chập k của n là C(n,k) = n! / [k!(n - k)!]. C(7,5) = 7! / [5!(7 - 5)!] = 7! / (5!2!) = (7 × 6) / (2 × 1) = 7 × 3 = 21 cách. Với mỗi cách chọn ra 5 chữ số, chúng ta có 5! (5 giai thừa) cách sắp xếp chúng thành một số. Vì vậy, tổng số cách để lập số có 5 chữ số từ A là 21 (cách chọn) × 120 (cách sắp xếp) = 2520. Vậy đáp án đúng là B. 2520.
Calculating Number of Possible Combinations of Numbers
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten, lösen wir die Aufgabe schrittweise: Aufgabenteil a: Wir sollen die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, eine höchstens dreistellige Zahl zu bilden, bei der keine Ziffer mehrfach auftreten darf und die Ziffern von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden müssen. Die Ziffernkarten sind 0, 1, 2, 3, 4 und 5. Für einstellige Zahlen haben wir 6 Möglichkeiten, da jede der Zahlen 0 bis 5 gewählt werden kann. Für zweistellige Zahlen wählen wir die erste Ziffer (wobei die 0 nicht als führende Ziffer gewählt werden kann, da dies lediglich eine einstellige Zahl ergeben würde). Es verbleiben also 5 Möglichkeiten für die erste Ziffer (1 bis 5). Für die zweite Ziffer haben wir dann 4 verbleibende Möglichkeiten (die restlichen Ziffern außer der bereits gewählten), also insgesamt 5 * 4 = 20 Möglichkeiten. Für dreistellige Zahlen wählen wir die erste Ziffer (wieder 1 bis 5, da 0 an erster Stelle nicht möglich ist) – das gibt 5 Möglichkeiten. Nachdem die erste Ziffer gewählt wurde, haben wir 4 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und dann bleiben noch 3 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also gibt es 5 * 4 * 3 = 60 Möglichkeiten für dreistellige Zahlen. Insgesamt haben wir also 6 (einstellige) + 20 (zweistellige) + 60 (dreistellige) = 86 Möglichkeiten. Aufgabenteil b: Wir sollen die Zahlen, die gebildet werden können, in einer kurzen Übersicht darstellen. Dafür würde man typischerweise eine Liste oder Tabelle schreiben, die alle Zahlen zeigt, die nach den gegebenen Regeln erstellt werden können. Da dies jedoch eine längere Liste wäre, verzichte ich darauf, alle Zahlen hier aufzulisten und erwähne nur beispielhaft einige Zahlen für jede Kategorie: - Einstellig: 0, 1, 2, 3, 4, 5 - Zweistellig: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45, ... (und so weiter) - Dreistellig: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345, ... (und so weiter) Dies gibt einen Einblick in die systematische Vorgehensweise, aber die vollständige Liste aller 86 Möglichkeiten wäre umfangreicher.
Calculating Combinations for Baking Cookies
Die Aufgabe fragt danach, wie viele unterschiedliche Kekse gebacken werden können, wenn man eine Auswahl an besonderen Zutaten hat: Smarties, Haselnüsse, Schokostreusel, Zimt und Vanillezucker. Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die Kekse "mit drei der besonderen Zutaten" gebacken werden sollen. Um die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Kombinationen aus drei Zutaten zu berechnen, verwenden wir die Kombinatorik. Hierbei geht es darum, aus einer Gesamtmenge von fünf Zutaten (n=5) alle möglichen Gruppen von drei Zutaten (k=3) zu bilden, ohne dass die Reihenfolge berücksichtigt wird und ohne Wiederholungen. Die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung lautet: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \) Wenn wir n=5 und k=3 einsetzen, erhalten wir: \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \) Es gibt also 10 unterschiedliche Möglichkeiten, um Kekse mit drei der besonderen Zutaten zu backen.
Calculating Combinations of Marbles in a Bag
Um die Anzahl der möglichen Zusammenstellungen von Murmeln zu finden, die in eine Tüte mit insgesamt 10 Murmeln passen, wobei es jeweils 10 grüne, blaue und rote Murmeln gibt, können wir das Problem der Kombinatorik mit Wiederholung lösen. Da es mehr Murmeln jeder Farbe gibt, als wir benötigen, ist die Beschränkung lediglich, dass die Gesamtzahl der Murmeln in der Tüte 10 sein muss. Das Problem kann durch die Methode der Trennwände oder "bars and stars" gelöst werden. Stellen wir uns vor, wir möchten n identische Objekte in k Schachteln aufteilen, das entspricht hier dem Platzieren von 10 Murmeln in 3 Kategorien (grün, blau, rot). Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, berechnet sich folgendermaßen: (n + k - 1) über k - 1 Hier ist n = 10 (die Anzahl der Murmeln) und k = 3 (die Anzahl der Farben). Also gilt: (10 + 3 - 1) über (3 - 1) Das ist: 12 über 2 Das berechnen wir so: 12! / (2! * (12-2)!) = 12! / (2! * 10!) 12! bedeutet 12 Fakultät, d.h., das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis 12. Das vereinfacht sich, wenn wir die 10! auf beiden Seiten des Bruches kürzen. Es bleibt übrig: 12 * 11 / 2 * 1 Das ergibt: 132 / 2 = 66 Es gibt also 66 verschiedene Zusammenstellungen, wie die Murmeln in der Tüte angeordnet sein können.
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