Question - Calculating Combinations of Marbles in a Bag
Solution:
Um die Anzahl der möglichen Zusammenstellungen von Murmeln zu finden, die in eine Tüte mit insgesamt 10 Murmeln passen, wobei es jeweils 10 grüne, blaue und rote Murmeln gibt, können wir das Problem der Kombinatorik mit Wiederholung lösen. Da es mehr Murmeln jeder Farbe gibt, als wir benötigen, ist die Beschränkung lediglich, dass die Gesamtzahl der Murmeln in der Tüte 10 sein muss.Das Problem kann durch die Methode der Trennwände oder "bars and stars" gelöst werden. Stellen wir uns vor, wir möchten n identische Objekte in k Schachteln aufteilen, das entspricht hier dem Platzieren von 10 Murmeln in 3 Kategorien (grün, blau, rot).Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, berechnet sich folgendermaßen:(n + k - 1) über k - 1Hier ist n = 10 (die Anzahl der Murmeln) und k = 3 (die Anzahl der Farben). Also gilt:(10 + 3 - 1) über (3 - 1)Das ist:12 über 2Das berechnen wir so:12! / (2! * (12-2)!) = 12! / (2! * 10!)12! bedeutet 12 Fakultät, d.h., das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis 12. Das vereinfacht sich, wenn wir die 10! auf beiden Seiten des Bruches kürzen. Es bleibt übrig:12 * 11 / 2 * 1Das ergibt:132 / 2 = 66Es gibt also 66 verschiedene Zusammenstellungen, wie die Murmeln in der Tüte angeordnet sein können.
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