Question - Combinatorics: Understanding Binomial Coefficients
Solution:
Diese Frage bezieht sich auf die Kombinatorik, speziell auf Binomialkoeffizienten. Die Binomialkoeffizienten, bekannt als "n über k" oder "n choose k", sind ein Maß dafür, auf wie viele verschiedene Arten k Objekte aus einer Gruppe von n unterschiedlichen Objekten ausgewählt werden können.a) Hier sehen wir die Gleichung $$ \binom{10}{3} = \binom{10}{7} $$.In Worten ausgedrückt, zeigt diese Gleichung, dass es genauso viele Möglichkeiten gibt, 3 Objekte aus einer Menge von 10 auszuwählen, wie es Möglichkeiten gibt, 7 Objekte aus derselben Menge auszuwählen. Das liegt daran, dass das Auswählen von 7 Objekten bedeutet, dass man gleichzeitig 3 Objekte nicht auswählt (da 10 - 7 = 3). Daher sind diese beiden Zahlen gleich.b) Hier wird behauptet, dass $$ \binom{1}{0} + \binom{1}{1} + \binom{2}{1} + \binom{3}{1} + \binom{4}{1} = 2^4 $$.Dies lässt sich mit der binomischen Formel (a + b)^n bestätigen, wobei die Summe der Koeffizienten einer solchen Entwicklung immer 2^n entspricht. Im gegebenen Beispiel steigert sich der Index des Binomialkoeffizienten, und die Summe stellt tatsächlich eine Reihe von Termen in der Entwicklung der binomischen Formel dar (unter der Annahme, dass a=b=1). Folglich ist die Behauptung korrekt, da die Summe der Koeffizienten $$ 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 2^4 = 16 $$ ist.c) Die letzte Gleichung $$ \binom{100}{2} + 100 = \binom{101}{2} $$ kann man mithilfe des Prinzips der kombinatorischen Argumentation überprüfen. Dies würde die Erklärung erfordern, dass das Hinzufügen einer einzelnen Einheit zu einer der Größen auf der linken Seite (addieren wir zum Beispiel eine Einheit zu einem der Elemente, die wir wählen könnten) zu demselben Ergebnis einer Summe führt, wie wenn wir eine zusätzliche Option zur Auswahl hätten (was auf der rechten Seite mit 101 statt 100 der Fall ist). Das bedeutet, dass, wenn wir eine einzelne Einheit zu dem Auswählen von 2 aus 100 hinzufügen, dies dazu führt, dass wir effektiv 2 aus 101 auswählen. Um dies zu verallgemeinern, könnte man sagen, dass allgemein $$ \binom{n}{k} + n = \binom{n+1}{k} $$ ist, da das Hinzufügen einer zusätzlichen Option (auf der rechten Seite) dem Hinzufügen einer der bereits vorhandenen Optionen auf der linken Seite entspricht. Dies beruht auf einer ähnlichen Logik wie in a).Zur Überprüfung der Behauptung in c) könnten wir die Binomialkoeffizienten explizit ausrechnen und dann vergleichen, aber da die Zahlen recht groß sind, ist eine direkte Berechnung ohne Taschenrechner zeitintensiv. Wenn wir jedoch die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nutzen, können wir bestätigen, dass das Hinzufügen von 100 zu $$ \binom{100}{2} $$ tatsächlich zum nächsten Binomialkoeffizienten $$ \binom{101}{2} $$ führt.
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