Question - Unique Three-Digit Number Combinations
Solution:
Die Aufgabe lautet wie folgt:3. Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.)a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuziehen.Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und die Zahlen von links nach rechts ansteigen, können wir Kombinationen verwenden, da die Reihenfolge der Zahlenwerte bereits durch die Anforderung, dass sie aufsteigend sortiert sein müssen, festgelegt ist.Da es insgesamt 6 Ziffern gibt und genau 3 davon ausgewählt werden, ohne dass die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt, nutzen wir die Kombinatorik-Formel für Kombinationen ohne Wiederholung:\[ \text{Kombinationen} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]Dabei ist $$ n $$ die Gesamtzahl der Ziffern und $$ k $$ die Anzahl der auszuwählenden Ziffern.In diesem Fall ist $$ n = 6 $$ und $$ k = 3 $$, also ergibt sich:\[ \text{Kombinationen} = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \]\[ = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \]\[ = 20 \]Es gibt also 20 verschiedene Möglichkeiten, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlenwerte von links nach rechts ansteigen.b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer Informationstabelle dar.Um eine Informationstabelle zu erstellen, müssen wir alle möglichen Kombinationen der Zahlen in aufsteigender Reihenfolge auflisten. Hier sind sie:012, 013, 014, 015,023, 024, 025,034, 035,045,123, 124, 125,134, 135,145,234, 235,245,345Diese Liste zeigt alle 20 einzigartigen Kombinationen, die gemäß der Aufgabenstellung möglich sind.
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