Example Question - unique three-digit numbers
Here are examples of questions we've helped users solve.
Unique Three-Digit Number Combinations
Die Aufgabe lautet wie folgt: 3. Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.) a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuziehen. Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und die Zahlen von links nach rechts ansteigen, können wir Kombinationen verwenden, da die Reihenfolge der Zahlenwerte bereits durch die Anforderung, dass sie aufsteigend sortiert sein müssen, festgelegt ist. Da es insgesamt 6 Ziffern gibt und genau 3 davon ausgewählt werden, ohne dass die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt, nutzen wir die Kombinatorik-Formel für Kombinationen ohne Wiederholung: \[ \text{Kombinationen} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Dabei ist \( n \) die Gesamtzahl der Ziffern und \( k \) die Anzahl der auszuwählenden Ziffern. In diesem Fall ist \( n = 6 \) und \( k = 3 \), also ergibt sich: \[ \text{Kombinationen} = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \] \[ = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \] \[ = 20 \] Es gibt also 20 verschiedene Möglichkeiten, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlenwerte von links nach rechts ansteigen. b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer Informationstabelle dar. Um eine Informationstabelle zu erstellen, müssen wir alle möglichen Kombinationen der Zahlen in aufsteigender Reihenfolge auflisten. Hier sind sie: 012, 013, 014, 015, 023, 024, 025, 034, 035, 045, 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 Diese Liste zeigt alle 20 einzigartigen Kombinationen, die gemäß der Aufgabenstellung möglich sind.
Forming Unique Three-Digit Numbers from 0, 1, 2, 3
Die Aufgabenstellung lautet: "Aus den vier Ziffernkarten 0, 1, 2 und 3 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, ohne dass eine Ziffer mehrfach auftritt." Es werden 3 Ziffernkarten gezogen. a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. Zu a: Für die erste Ziffer der Zahl haben wir 3 Möglichkeiten, da es eine dreistellige Zahl sein soll und eine führende Null nicht möglich ist (also können wir nur 1, 2 oder 3 wählen). Nachdem die erste Ziffer gewählt wurde, bleiben noch 3 Ziffernkarten übrig (0 inkludiert), aus denen wir für die zweite Ziffer der Zahl wählen können. Für die dritte und letzte Ziffer bleiben dann nur noch 2 Ziffernkarten übrig. Wir können die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnen, indem wir die Anzahl der Möglichkeiten für jede Ziffer miteinander multiplizieren, also: 3 (Möglichkeiten für die erste Ziffer) * 3 (Möglichkeiten für die zweite Ziffer) * 2 (Möglichkeiten für die dritte Ziffer) = 3 * 3 * 2 = 18. Es gibt also insgesamt 18 mögliche dreistellige Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2 und 3 gebildet werden können, ohne dass sich eine Ziffer wiederholt. b. Zu b: Diese Möglichkeiten können systematisch mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden. Jeder Pfad entlang des Diagramms stellt eine einzigartige Kombination der Ziffern dar. Im Baumdiagramm beginnt man normalerweise mit der ersten Ziffer und fügt dann Zweige hinzu, die alle möglichen Ziffern für die zweite und dritte Position darstellen. Da ich hier das Baumdiagramm nicht zeichnen kann, erkläre ich Ihnen, wie Sie es aufzeichnen können: 1. Beginnen Sie mit einem Ast für jede der drei möglichen Ziffern für die erste Position (1, 2 oder 3). 2. Für jeden dieser Äste fügen Sie drei Äste für die zweite Position hinzu, wobei Sie darauf achten, nicht die gleiche Ziffer wie für die erste Position zu verwenden. 3. Anschließend zeichnen Sie für jede dieser Kombinationen zwei Äste für die dritte Position und schließen auch hier die bereits verwendeten Ziffern aus. 4. Jeder Pfad von der Wurzel des Baumes bis zu seinen Blättern repräsentiert eine der 18 Möglichkeiten.
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