Example Question - combination formula
Here are examples of questions we've helped users solve.
Unique Three-Digit Number Combinations
Die Aufgabe lautet wie folgt: 3. Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.) a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuziehen. Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und die Zahlen von links nach rechts ansteigen, können wir Kombinationen verwenden, da die Reihenfolge der Zahlenwerte bereits durch die Anforderung, dass sie aufsteigend sortiert sein müssen, festgelegt ist. Da es insgesamt 6 Ziffern gibt und genau 3 davon ausgewählt werden, ohne dass die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt, nutzen wir die Kombinatorik-Formel für Kombinationen ohne Wiederholung: \[ \text{Kombinationen} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Dabei ist \( n \) die Gesamtzahl der Ziffern und \( k \) die Anzahl der auszuwählenden Ziffern. In diesem Fall ist \( n = 6 \) und \( k = 3 \), also ergibt sich: \[ \text{Kombinationen} = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \] \[ = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \] \[ = 20 \] Es gibt also 20 verschiedene Möglichkeiten, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlenwerte von links nach rechts ansteigen. b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer Informationstabelle dar. Um eine Informationstabelle zu erstellen, müssen wir alle möglichen Kombinationen der Zahlen in aufsteigender Reihenfolge auflisten. Hier sind sie: 012, 013, 014, 015, 023, 024, 025, 034, 035, 045, 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 Diese Liste zeigt alle 20 einzigartigen Kombinationen, die gemäß der Aufgabenstellung möglich sind.
Handshake Problem and Combinatorics Formula
Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Formel für eine Handshake-Aufgabe. Das Problem wird auch als Handshake-Problem bezeichnet und kommt aus dem Bereich der Kombinatorik, einem Teilgebiet der Mathematik. Wenn jede Person genau einmal mit jeder anderen Person anstößt, entspricht dies der Anzahl der Kombinationen von 23 Personen, die in Zweiergruppen eingeteilt werden können. Die Formel für die Anzahl der Kombinationen ist: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] wo \( n \) die Gesamtzahl der Personen ist, \( k \) die Gruppengröße (in diesem Fall 2, da das Anstoßen zwischen 2 Personen passiert), und \( ! \) steht für die Fakultät, also die Multiplikation aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl. Für unser Problem sieht die Rechnung so aus: \[ C(23, 2) = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253 \] Also würde man das Glas insgesamt 253 Mal klingen hören, wenn jeder der 23 Gäste genau einmal mit jedem anderen anstößt.
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