Trigonometry Exercise: Coterminal Angles and Trigonometric Formulas
La question fournissant l'image demande de travailler avec des angles en utilisant les propriétés des angles coterminal pour simplifier les expressions dans le cercle trigonométrique.
Voici la démarche à suivre pour l'exercice 4:
1. Pour représenter les angles \(\alpha = - \frac{11\pi}{6}\) et \(\beta = \frac{13\pi}{4}\) sur le cercle trigonométrique, on doit d'abord trouver les angles coterminal qui sont entre \(0\) et \(2\pi\). Pour ce faire, on doit ajouter \(2\pi\) au besoin jusqu'à ce qu'on obtienne des valeurs dans cet intervalle standard.
Pour \(\alpha = - \frac{11\pi}{6}\), on peut ajouter \(2\pi\) ce qui donne:
\(\alpha = - \frac{11\pi}{6} + 2\pi = - \frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\)
Pour \(\beta = \frac{13\pi}{4}\), puisque \(2\pi = \frac{8\pi}{4}\) nous devons soustraire \(2\pi\) plusieurs fois jusqu'à obtenir une valeur entre \(0\) et \(2\pi\).
\(\beta = \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\)
2. Pour montrer que \(\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\tan(\beta) = -1\), on peut maintenant utiliser les angles coterminal trouvés en (1).
Pour \(\alpha = \frac{\pi}{6}\), on sait que \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Pour \(\beta = \frac{5\pi}{4}\), il s'agit d'un angle qui se trouve dans le troisième quadrant où le sinus et le cosinus sont négatifs, donc la tangente est positive. Or, comme on est à mi-chemin entre les angles de base \(\pi\) et \(3\pi/2\), où la tangente de \(\pi\) et de \(3\pi/2\) sont indéfinies ou 0, on peut utiliser le fait que la tangente est l'opposé de celle de \(\pi/4\), ce qui donne \(\tan(\frac{5\pi}{4}) = -1\).
3. Pour déterminer la valeur de \(\cos(\frac{\alpha}{2})\), \(\sin^2(\frac{\alpha}{2})\) et \(\sin(\alpha + \beta)\), on utilise les formules de demi-angles et la formule pour le sinus de la somme de deux angles.
D'abord, \(\cos(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{12})\). En utilisant la formule de cosinus de demi-angles, nous pourrions dire que:
\(\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}\)
\(\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\)
Pour \(\sin^2(\frac{\alpha}{2})\), on utilise la formule \(\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}\):
\(\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)
Enfin, pour \(\sin(\alpha + \beta)\), on utilise la formule du sinus de la somme de deux angles:
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\)
\(\alpha = \frac{\pi}{6}\) et \(\beta = \frac{5\pi}{4}\), donc:
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{5\pi}{4})\)
On sait que \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) car \(\frac{5\pi}{4}\) est dans le troisième quadrant où les deux sont négatifs.
Substituez ces valeurs pour trouver le résultat de \(\sin(\alpha + \beta)\):
\(\sin(\alpha + \beta) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
\(\sin(\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}\)
Je vous laisse effectuer les dernières simplifications numériques si nécessaires.
