Example Question - coterminal angles
Here are examples of questions we've helped users solve.
Trigonometry Exercise: Coterminal Angles and Trigonometric Formulas
La question fournissant l'image demande de travailler avec des angles en utilisant les propriétés des angles coterminal pour simplifier les expressions dans le cercle trigonométrique. Voici la démarche à suivre pour l'exercice 4: 1. Pour représenter les angles \(\alpha = - \frac{11\pi}{6}\) et \(\beta = \frac{13\pi}{4}\) sur le cercle trigonométrique, on doit d'abord trouver les angles coterminal qui sont entre \(0\) et \(2\pi\). Pour ce faire, on doit ajouter \(2\pi\) au besoin jusqu'à ce qu'on obtienne des valeurs dans cet intervalle standard. Pour \(\alpha = - \frac{11\pi}{6}\), on peut ajouter \(2\pi\) ce qui donne: \(\alpha = - \frac{11\pi}{6} + 2\pi = - \frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\) Pour \(\beta = \frac{13\pi}{4}\), puisque \(2\pi = \frac{8\pi}{4}\) nous devons soustraire \(2\pi\) plusieurs fois jusqu'à obtenir une valeur entre \(0\) et \(2\pi\). \(\beta = \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\) 2. Pour montrer que \(\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\tan(\beta) = -1\), on peut maintenant utiliser les angles coterminal trouvés en (1). Pour \(\alpha = \frac{\pi}{6}\), on sait que \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Pour \(\beta = \frac{5\pi}{4}\), il s'agit d'un angle qui se trouve dans le troisième quadrant où le sinus et le cosinus sont négatifs, donc la tangente est positive. Or, comme on est à mi-chemin entre les angles de base \(\pi\) et \(3\pi/2\), où la tangente de \(\pi\) et de \(3\pi/2\) sont indéfinies ou 0, on peut utiliser le fait que la tangente est l'opposé de celle de \(\pi/4\), ce qui donne \(\tan(\frac{5\pi}{4}) = -1\). 3. Pour déterminer la valeur de \(\cos(\frac{\alpha}{2})\), \(\sin^2(\frac{\alpha}{2})\) et \(\sin(\alpha + \beta)\), on utilise les formules de demi-angles et la formule pour le sinus de la somme de deux angles. D'abord, \(\cos(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{12})\). En utilisant la formule de cosinus de demi-angles, nous pourrions dire que: \(\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}\) \(\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\) Pour \(\sin^2(\frac{\alpha}{2})\), on utilise la formule \(\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}\): \(\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\) Enfin, pour \(\sin(\alpha + \beta)\), on utilise la formule du sinus de la somme de deux angles: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\) \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) et \(\beta = \frac{5\pi}{4}\), donc: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{5\pi}{4})\) On sait que \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) car \(\frac{5\pi}{4}\) est dans le troisième quadrant où les deux sont négatifs. Substituez ces valeurs pour trouver le résultat de \(\sin(\alpha + \beta)\): \(\sin(\alpha + \beta) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})\) \(\sin(\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}\) Je vous laisse effectuer les dernières simplifications numériques si nécessaires.
Solving Radian Angle Equation on Unit Circle
Para resolver el valor de \( x \), primero necesitamos entender el contexto proporcionado por el dibujo. Estamos mirando una circunferencia unitaria con ángulos representados en radianes. En la circunferencia, hay dos ángulos marcados: uno en la semirrecta horizontal derecha y otro en la semirrecta vertical inferior. El ángulo en la semirrecta horizontal derecha está marcado como \( x + \frac{\pi}{3} \) rad y el ángulo en la semirecta vertical inferior está marcado como \( -x - \frac{\pi}{6} \) rad. Estos dos ángulos están relacionados porque son ángulos coterminales, es decir, sus lados terminan en la misma semirrecta. Los ángulos coterminales difieren en \( 2\pi \) radianes o un múltiplo de \( 2\pi \) si se dan más vueltas completas alrededor del círculo. Para encontrar el valor de \( x \), podemos igualar estos dos ángulos y añadir \( 2\pi \) dado que el ángulo en la semirrecta vertical inferior da una vuelta completa (de \( -x - \frac{\pi}{6} \) hasta \( x + \frac{\pi}{3} \)), volviendo así al mismo punto en la circunferencia. La ecuación sería: \( x + \frac{\pi}{3} = -x - \frac{\pi}{6} + 2\pi \) Ahora resolvemos la ecuación paso a paso: \( 2x = 2\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \) Para combinar los términos con \( \pi \), primero necesitamos un denominador común, que sería 6 en este caso: \( 2x = \frac{12\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \) \( 2x = \frac{12\pi - 2\pi - 1\pi}{6} \) \( 2x = \frac{9\pi}{6} \) \( 2x = \frac{3\pi}{2} \) Dividimos ambos lados por 2 para encontrar \( x \): \( x = \frac{3\pi}{4} \) Por lo tanto, el valor de \( x \) es \( \frac{3\pi}{4} \) radianes.
Finding Coterminal Angles within a Range
The question is asking for an angle θ that is coterminal with -468°, where θ is between 0° and 360°. To find a coterminal angle, you need to add or subtract multiples of 360° from the given angle until you find an angle within the specified range. For a negative angle, you would add multiples of 360°. Let's find the coterminal angle: θ = -468° + 360°n Here, n is the number of times we need to add 360° to reach a positive angle within the desired range. First, let's find the smallest positive angle by adding 360° once: θ = -468° + 360° = -108° This is still negative, so we add 360° again: θ = -108° + 360° = 252° Now, θ = 252° is in the range from 0° to 360°, so this is the angle that is coterminal with -468° within the specified range.
Finding Coterminal Angles
To find an angle θ coterminal to 971° within the range 0° ≤ θ < 360°, you can subtract multiples of 360° from 971° until the result falls within the given range. 971° − 360° × 2 = 971° − 720° = 251° Since 251° is within the range 0° ≤ θ < 360°, the angle \( \theta \) coterminal to 971° is 251°.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com