Trigonometric identities and expressions involving sin, cos, and tan
Para solucionar el problema necesitamos encontrar una expresión para \( \cos x \) y \( \tan \frac{x}{2} \) en términos de \( \sin x \). Dado que \( \sin x = \sqrt{\tan 37°} \), podemos usar identidades trigonométricas para relacionar los valores de \( \sin x \), \( \cos x \), y \( \tan \frac{x}{2} \).
Primero, recordemos que \( \tan 37° \) es un valor conocido y corresponde al triángulo rectángulo especial de 3-4-5 (o su versión escalada, como 37°-53°-90°), por lo que \( \tan 37° = \frac{3}{4} \). Esto significa que \( \sin x = \sqrt{\frac{3}{4}} \), lo cual simplifica a \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Usamos la identidad fundamental de la trigonometría \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) para encontrar \( \cos x \).
\( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)
\( \cos^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \)
\( \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \)
\( \cos^2 x = \frac{1}{4} \)
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener \( \cos x \). Dado que \( x \) no está especificado, no sabemos si estamos en el primer cuadrante (donde \( \cos x \) sería positivo) o en el segundo (donde sería negativo). Sin embargo, dado que se nos proporciona \( \sin x \) como la raíz cuadrada de un número positivo, y sabiendo que el seno de 37° es positivo, parece razonable asumir que \( x \) está en el primer cuadrante donde todos los valores de las funciones trigonométricas son positivos. Por lo tanto, \( \cos x = \frac{1}{2} \).
Para encontrar \( \tan \frac{x}{2} \), usamos la identidad de la tangente en términos de seno y coseno:
\( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \). Sustituimos \( \cos x = \frac{1}{2} \) en la identidad:
\( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}} \)
\( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}} \)
\( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} \)
\( \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Ahora sustituimos \( \cos x = \frac{1}{2} \) y \( \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) en la ecuación original para Q:
\( Q = 2\cos x + \sqrt{3}\tan \frac{x}{2} \)
\( Q = 2\left(\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)
\( Q = 1 + 1 \)
\( Q = 2 \)
Por lo tanto, el valor de Q, dadas las condiciones establecidas, es 2.
