Example Question - solve for theta

Trigonometric Equation Solution

<p>给定方程 \(2 \tan \theta = 3 \cos \theta\)，求解 \(\theta\)，其中 \(0^\circ \leq \theta < 360^\circ\)。</p> <p>将 \(\tan \theta\) 转换为 \(\sin \theta\) 和 \( \cos \theta\) 的比率：</p> <p>\(2 \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \cos \theta\)</p> <p>交叉相乘得到：</p> <p>\(2 \sin \theta = 3 \cos^2 \theta\)</p> <p>我们知道 \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\), 所以代入得：</p> <p>\(2 \sin \theta = 3 (1 - \sin^2 \theta)\)</p> <p>现在我们得到一个关于 \(\sin \theta\) 的二次方程：</p> <p>\(3 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 3 = 0\)</p> <p>使用求根公式得到 \(\sin \theta\) 的值：</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3}\)</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4+36}}{6}\)</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6}\)</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6}\)</p> <p>由于 \(0^\circ \leq \theta < 360^\circ\)，我们需要考虑正弦函数的所有可能值：</p> <p>负数解不在给定的区间内，我们采用：</p> <p>\(\sin \theta = \frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\)</p> <p>然后利用反正弦函数找到对应的角度值，在 \(0^\circ \leq \theta < 180^\circ\) 时为主值，\(180^\circ \leq \theta < 360^\circ\) 时为同周期值：</p> <p>\(\theta = \arcsin\left(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\right)\) or \(\theta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\right)\)</p> <p>计算得到角度值并保留到最近的 \(0.1^\circ\)：</p> <p>\(\theta \approx 43.9^\circ\) or \(\theta \approx 136.1^\circ\)</p> <p>所以答案是 C)。</p>