Question - Solving Triangles with Parallel Lines
Solution:
Claro, vamos a resolver el problema que se muestra en la imagen usando conceptos de geometría.En este problema, nos muestran un triángulo $$ ABC $$ en el cual el segmento $$ \overline{DE} $$ es paralelo al segmento $$ \overline{BC} $$, y se indican algunas medidas de longitudes: $$ AE = 5 $$ cm y $$ EC = 4 $$ cm. Nos piden encontrar el valor de $$ x $$ en función de $$ e $$.Usaremos la propiedad de los triángulos semejantes que dice que si una línea es paralela a uno de los lados de un triángulo y corta a los otros dos lados, entonces divide a esos dos lados en segmentos proporcionales.El triángulo pequeño $$ ADE $$ es semejante al triángulo grande $$ ABC $$ porque tienen dos ángulos congruentes (causados por la línea paralela y los ángulos correspondientes), por lo que podemos plantear la relación:$$\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB}$$Dado que $$ AE = 5 $$ cm y $$ EC = 4 $$ cm, la relación queda:$$\frac{5}{4} = \frac{AD}{DB}$$Ahora, podemos expresar $$ DB $$ como la longitud total de $$ BC $$ menos la longitud de $$ AD $$, es decir, $$ DB = (e+5) - AD $$, donde usamos que $$ AD = 5 + x $$ y $$ BC = e $$. Sin embargo, notemos que para encontrar $$ x $$ en función de $$ e $$, realmente no necesitamos calcular $$ DB $$ ya que $$ BC $$ y $$ AD $$ están en términos de $$ x $$ y $$ e $$.Ahora calculamos $$ x $$ en función de $$ e $$ utilizando la semejanza de triángulos:$$\frac{5}{4} = \frac{5 + x}{e}$$Multiplicaremos en cruz para resolver por $$ x $$:$$5e = 4(5 + x)$$$$5e = 20 + 4x$$Restamos 20 de ambos lados de la ecuación para despejar $$ 4x $$:$$4x = 5e - 20$$Finalmente, dividimos ambos lados entre 4 para obtener $$ x $$:$$x = \frac{5e - 20}{4}$$Esa es la expresión de $$ x $$ en función de $$ e $$. En las opciones proporcionadas, este resultado corresponde a:$$D) \frac{5e - 20}{4}$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.
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