Solving Triangles with Parallel Lines
Claro, vamos a resolver el problema que se muestra en la imagen usando conceptos de geometría.
En este problema, nos muestran un triángulo \( ABC \) en el cual el segmento \( \overline{DE} \) es paralelo al segmento \( \overline{BC} \), y se indican algunas medidas de longitudes: \( AE = 5 \) cm y \( EC = 4 \) cm. Nos piden encontrar el valor de \( x \) en función de \( e \).
Usaremos la propiedad de los triángulos semejantes que dice que si una línea es paralela a uno de los lados de un triángulo y corta a los otros dos lados, entonces divide a esos dos lados en segmentos proporcionales.
El triángulo pequeño \( ADE \) es semejante al triángulo grande \( ABC \) porque tienen dos ángulos congruentes (causados por la línea paralela y los ángulos correspondientes), por lo que podemos plantear la relación:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB}
\]
Dado que \( AE = 5 \) cm y \( EC = 4 \) cm, la relación queda:
\[
\frac{5}{4} = \frac{AD}{DB}
\]
Ahora, podemos expresar \( DB \) como la longitud total de \( BC \) menos la longitud de \( AD \), es decir, \( DB = (e+5) - AD \), donde usamos que \( AD = 5 + x \) y \( BC = e \). Sin embargo, notemos que para encontrar \( x \) en función de \( e \), realmente no necesitamos calcular \( DB \) ya que \( BC \) y \( AD \) están en términos de \( x \) y \( e \).
Ahora calculamos \( x \) en función de \( e \) utilizando la semejanza de triángulos:
\[
\frac{5}{4} = \frac{5 + x}{e}
\]
Multiplicaremos en cruz para resolver por \( x \):
\[
5e = 4(5 + x)
\]
\[
5e = 20 + 4x
\]
Restamos 20 de ambos lados de la ecuación para despejar \( 4x \):
\[
4x = 5e - 20
\]
Finalmente, dividimos ambos lados entre 4 para obtener \( x \):
\[
x = \frac{5e - 20}{4}
\]
Esa es la expresión de \( x \) en función de \( e \). En las opciones proporcionadas, este resultado corresponde a:
\[
D) \frac{5e - 20}{4}
\]
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.
