Question - Solving Equations Involving Powers and Reciprocals
Solution:
题目给出的方程是：$$3^a - 5^b = m$$，同时给出 $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$$，然后要求求解 m 的可能值。我们首先来解方程 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$$。将方程改写为：$$ \frac{b + a}{ab} = 2$$。然后我们将方程两边同时乘以 $$ ab $$，得到 $$ b + a = 2ab $$。改写上述方程，移项得到 $$ 2ab - a - b = 0 $$。接下来，我们为了解方程，可以添加 $$ 1 $$ 并减去 $$ 1 $$ 从而不影响方程的等式，变形成完全平方的形式：$$ 2ab - a - b + 1 - 1 = 0 $$。现在将 $$ -1 $$ 移到右边，得到 $$ 2ab - a - b + 1 = 1 $$。左边这个表达式可以因式分解成 $$ (a - 1)(2b - 1) = 1 $$。现在我们有两个整数相乘等于 $$ 1 $$。由于 $$ a $$ 和 $$ b $$ 都必须是正整数，因此 $$ (a - 1) $$ 和 $$ (2b - 1) $$ 也必须是正整数。唯一的可能是 $$ a - 1 = 1 $$ 和 $$ 2b - 1 = 1 $$ 或者 $$ a - 1 = -1 $$ 和 $$ 2b - 1 = -1 $$，但第二种情况是不可能的，因为这会使 $$ a $$ 和 $$ b $$ 为非正整数。因此，我们有 $$ a - 1 = 1 $$ 和 $$ 2b - 1 = 1 $$，解得 $$ a = 2 $$ 和 $$ b = 1 $$。代入最初的方程 $$3^a - 5^b = m$$，我们得到 $$3^2 - 5^1 = m$$，即 $$9 - 5 = m$$。因此，$$ m = 4 $$。所以 m 的可能值为 $$ \text{(C) 4} $$。
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