Example Question - possible values

Solving Equations Involving Powers and Reciprocals

题目给出的方程是：\(3^a - 5^b = m\)，同时给出 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\)，然后要求求解 m 的可能值。 我们首先来解方程 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\)。 将方程改写为：\( \frac{b + a}{ab} = 2\)。 然后我们将方程两边同时乘以 \( ab \)，得到 \( b + a = 2ab \)。 改写上述方程，移项得到 \( 2ab - a - b = 0 \)。 接下来，我们为了解方程，可以添加 \( 1 \) 并减去 \( 1 \) 从而不影响方程的等式，变形成完全平方的形式： \( 2ab - a - b + 1 - 1 = 0 \)。 现在将 \( -1 \) 移到右边，得到 \( 2ab - a - b + 1 = 1 \)。 左边这个表达式可以因式分解成 \( (a - 1)(2b - 1) = 1 \)。 现在我们有两个整数相乘等于 \( 1 \)。由于 \( a \) 和 \( b \) 都必须是正整数，因此 \( (a - 1) \) 和 \( (2b - 1) \) 也必须是正整数。唯一的可能是 \( a - 1 = 1 \) 和 \( 2b - 1 = 1 \) 或者 \( a - 1 = -1 \) 和 \( 2b - 1 = -1 \)，但第二种情况是不可能的，因为这会使 \( a \) 和 \( b \) 为非正整数。 因此，我们有 \( a - 1 = 1 \) 和 \( 2b - 1 = 1 \)，解得 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)。 代入最初的方程 \(3^a - 5^b = m\)，我们得到 \(3^2 - 5^1 = m\)，即 \(9 - 5 = m\)。 因此，\( m = 4 \)。 所以 m 的可能值为 \( \text{(C) 4} \)。