Example Question - properties of operations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Complex Number Equation Using Properties of Operations
Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, vamos a utilizar las propiedades de las operaciones con números complejos. La ecuación presenta una diferencia entre dos números complejos igualada al cuadrado de otro número complejo: \[ d(x - y)^2 = (a + bi)^2 \] donde \( d \) es una constante y \( x \), \( y \), \( a \), y \( b \) son también números complejos. El número complejo \( x \) es \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i \), y el número complejo \( y \) es \( 1 \). Al evaluar \( x - y \), obtenemos: \[ x - y = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i\right) - 1 = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3}\sqrt{3}i = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i \] Ahora hallamos el cuadrado de \( x - y \): \[ (-\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}i + \left(\frac{1}{3}\sqrt{3}i\right)^2 \] \[ = \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i - \frac{1}{3}i^2 \] \[ = \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i \] \[ = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i \] Ahora igualamos el cuadrado hallado con el cuadrado del número complejo de la derecha de la ecuación original: \[ d\left(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i\right) = (a + bi)^2 \] Para encontrar \( d \), comparamos parte real con real y parte imaginaria con imaginaria del resultado de la elevación al cuadrado \( (a + bi)^2 \). Si simplificamos \( (a + bi)^2 \) obtenemos \( a^2 - b^2 + 2abi \). Igualamos partes reales y partes imaginarias: \[ d\cdot\frac{7}{9} = a^2 - b^2 \] \[ -d\cdot\frac{4}{9}\sqrt{3} = 2ab \] Desafortunadamente, sin más información sobre los valores de \( a \), \( b \), o \( d \), no puedo continuar resolviendo el problema. Necesitaríamos valores específicos para \( a \) y \( b \) para poder encontrar un valor definido para \( d \).
Step-by-Step Solution of a Linear Equation
Para resolver la ecuación que se muestra en la imagen, hay que seguir una serie de pasos aplicando las propiedades de las operaciones y las ecuaciones. Vamos a resolverla paso a paso: La ecuación es: \( 5 + 2(1-x) = 2x + 3 \). 1. Primero, vamos a distribuir el 2 en la expresión entre paréntesis: \( 5 + 2*1 - 2*x = 2x + 3 \). 2. Esto simplifica a: \( 5 + 2 - 2x = 2x + 3 \). 3. Sumamos \( 2 \) y \( 5 \), que son términos constantes: \( 7 - 2x = 2x + 3 \). 4. Ahora, vamos a mover todos los términos con \( x \) al mismo lado de la ecuación y los números constantes al otro lado. Para ello, sumamos \( 2x \) a ambos lados de la ecuación y restamos \( 3 \) de ambos lados: \( 7 - 3 = 2x + 2x \). 5. Esto nos da: \( 4 = 4x \). 6. Ahora, dividimos ambos lados entre \( 4 \) para obtener \( x \): \( x = \frac{4}{4} \). 7. Esto nos da el resultado: \( x = 1 \). La solución para \( x \) en la ecuación original es \( 1 \).
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