Question - Solving an Improper Integral

لحل التكامل الوارد في الصورة، أولاً، نبسط المقام كالتالي:

\[ \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{9 - x^{2}}} dx \]

نستخدم التعويض التالي:

\[ x = 3\sin(\theta) \]

\[ dx = 3\cos(\theta) d\theta \]

\[ 9 - x^{2} = 9 - 9\sin^{2}(\theta) = 9\cos^{2}(\theta) \]

نعوض في التكامل الأصلي:

\[ = \int \frac{3\cos(\theta)}{(3\sin(\theta))^{4} \sqrt{9\cos^{2}(\theta)}} d\theta \]

\[ = \frac{1}{27} \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^{4}(\theta)\cos(\theta)} d\theta \]

\[ = \frac{1}{27} \int \csc^{4}(\theta) d\theta \]

\[ = \frac{1}{27} \int \csc^{2}(\theta) \csc^{2}(\theta) d\theta \]

نستخدم التكامل بالتجزئة أو جداول التكامل لإيجاد:

\[ \int \csc^{2}(\theta) d\theta = - \cot(\theta) \]

\[ \int \csc^{4}(\theta) d\theta = -\frac{1}{3} \cot(\theta)\csc^{2}(\theta) - \frac{2}{3} \int \csc^{2}(\theta) d\theta \]

نحل التكامل ونعيد التعبير عن الناتج بدلالة \( x \) بعد العودة إلى التعويض الأول.

هذا التكامل قد يتطلب تقنيات متقدمة في التعامل مع التكاملات الغير مناسبة والدوال المثلثية، ولكن من المهم العودة إلى التعويض الأصلي للوصول إلى النتيجة النهائية بدلالة \( x \).