Example Question - improper integral
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving an Improper Integral
<p>لحل التكامل الوارد في الصورة، أولاً، نبسط المقام كالتالي:</p> <p>\[ \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{9 - x^{2}}} dx \]</p> <p>نستخدم التعويض التالي:</p> <p>\[ x = 3\sin(\theta) \]</p> <p>\[ dx = 3\cos(\theta) d\theta \]</p> <p>\[ 9 - x^{2} = 9 - 9\sin^{2}(\theta) = 9\cos^{2}(\theta) \]</p> <p>نعوض في التكامل الأصلي:</p> <p>\[ = \int \frac{3\cos(\theta)}{(3\sin(\theta))^{4} \sqrt{9\cos^{2}(\theta)}} d\theta \]</p> <p>\[ = \frac{1}{27} \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^{4}(\theta)\cos(\theta)} d\theta \]</p> <p>\[ = \frac{1}{27} \int \csc^{4}(\theta) d\theta \]</p> <p>\[ = \frac{1}{27} \int \csc^{2}(\theta) \csc^{2}(\theta) d\theta \]</p> <p>نستخدم التكامل بالتجزئة أو جداول التكامل لإيجاد:</p> <p>\[ \int \csc^{2}(\theta) d\theta = - \cot(\theta) \]</p> <p>\[ \int \csc^{4}(\theta) d\theta = -\frac{1}{3} \cot(\theta)\csc^{2}(\theta) - \frac{2}{3} \int \csc^{2}(\theta) d\theta \]</p> <p>نحل التكامل ونعيد التعبير عن الناتج بدلالة \( x \) بعد العودة إلى التعويض الأول.</p> <p>هذا التكامل قد يتطلب تقنيات متقدمة في التعامل مع التكاملات الغير مناسبة والدوال المثلثية، ولكن من المهم العودة إلى التعويض الأصلي للوصول إلى النتيجة النهائية بدلالة \( x \).</p>
Evaluation of an Improper Integral
<p>The image shows an improper integral of the form \(\int \sqrt{x} dx\). To solve this integral, we use the power rule for integration. The power rule states that \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), for any real number \(n\) not equal to -1, where \(C\) is the constant of integration.</p> <p>The integral can thus be solved as follows:</p> <p>\begin{align*} \int \sqrt{x} dx &= \int x^{1/2} dx \\ &= \frac{x^{(1/2) + 1}}{(1/2) + 1} + C \\ &= \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \\ &= \frac{2}{3} x^{3/2} + C. \end{align*}</p> <p>Therefore, the solution to the integral is \(\frac{2}{3} x^{3/2} + C\).</p>
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com