Solving a Numerical Sequence Problem
<p>1) Pour calculer \( u_2 \), on utilise la relation de récurrence :</p>
<p>\[ u_2 = u_1 + 4 \cdot u_0 = -1 + 4 \cdot (-3) = -1 - 12 = -13 \]</p>
<p>2a) Soit \( P(n) \) : \( u_n \geq -6 \cdot (0.5)^n \). Montrons par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \) est vraie.</p>
<p>Initialisation pour \( n = 0 \) :</p>
<p>\[ u_0 = -3 \geq -6 \cdot (0.5)^0 = -6 \]</p>
<p>Donc \( P(0) \) est vraie.</p>
<p>Hérédité : Supposons \( P(n) \) vraie pour un certain \( n \in \mathbb{N} \), donc \( u_n \geq -6 \cdot (0.5)^n \). Montrons \( P(n+1) \).</p>
<p>\[ u_{n+1} = u_n + 4u_{n-1} \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n + 4 \cdot (-6 \cdot (0.5)^{n-1}) \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n - 24 \cdot (0.5)^{n-1} \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n - 12 \cdot (0.5)^n \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -18 \cdot (0.5)^n \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n \cdot 3 \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^{n+1} \cdot 3 \cdot 2 \]</p>
<p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^{n+1} \]</p>
<p>Donc \( P(n+1) \) est vraie et la propriété est héréditaire.</p>
<p>Conclusion : Par récurrence, \( P(n) \) est vraie \( \forall n \in \mathbb{N} \).</p>
<p>3) Pour montrer l'existence et l'unicité de la limite de la suite, on utilise la définition d'une suite géométrique :</p>
<p>La suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n + 6 \cdot (0.5)^n \) est une suite géométrique de raison \( 0.5 \) donc elle converge. Puisque \( u_n = v_n - 6 \cdot (0.5)^n \), la suite \( (u_n) \) est la somme d'une suite convergente et d'une suite qui tend vers \( 0 \), donc elle admet une limite.</p>
<p>L'unicité de la limite vient du fait qu'une suite ne peut admettre qu'une seule limite.</p>
<p>4) Pour montrer la somme géométrique :</p>
<p>\[ v_n = \frac{v_0 \cdot (1 - 0.5^n)}{1 - 0.5} \]</p>
<p>\[ v_n = 2 \cdot v_0 \cdot (1 - (0.5)^n) \]</p>
<p>\[ u_n + 6 \cdot (0.5)^n = 2 \cdot (-3) \cdot (1 - (0.5)^n) \]</p>
<p>\[ u_n + 6 \cdot (0.5)^n = -6 + 6 \cdot (0.5)^n \]</p>
<p>\[ u_n = -6 \]</p>
<p>Donc \( \lim_{n \to \infty} u_n = -6 \)</p>
