Example Question - first-order
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a First-Order Differential Equation
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Para resolverla, podemos separar las variables P y t:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} dP = dt\]</p> <p>Integramos ambos lados:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]</p> <p>Para resolver la integral del lado izquierdo, realizamos una descomposición en fracciones parciales:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>Al resolver para A y B, encontramos que A = 1 y B = 1, por lo tanto:</p> <p>\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = \int dt\]</p> <p>Integramos cada término:</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Para despejar P, exponentiamos ambos lados:</p> <p>\[e^{\ln|P| - \ln|1 - P|} = e^{t + C}\]</p> <p>\[|P| / |1 - P| = e^{t}e^{C}\]</p> <p>Donde e^C es una constante que llamaremos C1:</p> <p>\[|P| / |1 - P| = C1e^{t}\]</p> <p>Despejamos P:</p> <p>\[P = \frac{C1e^{t}}{1 + C1e^{t}}\]</p> <p>El signo del valor absoluto depende de las condiciones iniciales dadas para P. Si aplicamos una condición inicial de la forma \( P(0) = P_0 \), resolveríamos para \( C1 \) y obtendríamos la solución particular.</p> <p>El teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse sin una condición inicial. Sin embargo, si P(0) = 0 o P(0) = 1, entonces el teorema de existencia y unicidad no se puede aplicar porque el denominador de dP/dt se haría cero, lo que llevaría a una división por cero en la derivada.</p>
Solving Differential Equations
<p>سنقوم بحل المعادلات التفاضلية الأربعة.</p> <p>المعادلة (1): \( y'' - 2y' - 3y = e^{2x} \)</p> <p>حل المعادلة التكميلية: \( r^2 - 2r - 3 = 0 \)</p> <p>\( r = 3, -1 \)</p> <p>حل الجزء الخاص: \( y_p = Ae^{2x} \)</p> <p>\( y_p' = 2Ae^{2x} \)</p> <p>\( y_p'' = 4Ae^{2x} \)</p> <p>نعوض في المعادلة الأصلية: \( 4Ae^{2x} - 4Ae^{2x} - 3Ae^{2x} = e^{2x} \)</p> <p>نحصل على \( A = -\frac{1}{3} \)</p> <p>الحل العام: \( y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} - \frac{1}{3}e^{2x} \)</p> <p>المعادلة (2): \( y' - y = e^x \)</p> <p>عامل التكامل: \( \mu(x) = e^{-x} \)</p> <p>\( e^{-x}y' - e^{-x}y = 1 \)</p> <p>\( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = 1 \)</p> <p>\( e^{-x}y = x + C \)</p> <p>الحل العام: \( y = e^x(x + C) \)</p> <p>المعادلة (3): \( y' = x - 2xy \)</p> <p>\( y' + 2xy = x \)</p> <p>عامل التكامل: \( \mu(x) = e^{2x} \)</p> <p>\( e^{2x}y' + 2xe^{2x}y = xe^{2x} \)</p> <p>\( \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = xe^{2x} \)</p> <p>\( e^{2x}y = \frac{1}{2}x^2e^{2x} + Ce^{2x} \)</p> <p>الحل العام: \( y = \frac{1}{2}x^2 + Ce^{-2x} \)</p> <p>المعادلة (4): \( xdy + 2(y - 4x^2)dx = 0 \)</p> <p>بفصل المتغيرات: \( \frac{dy}{dx} = \frac{8x^2 - 2y}{x} \)</p> <p>معادلة تفاضلية غير متجانسة، وحلها يتطلب أساليب متقدمة ولا يمكن حلها بالتكامل المباشر.</p>
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