Solving a Farming Puzzle with Equations
Para resolver esta pregunta, primero necesitamos establecer dos ecuaciones basadas en la información dada en el problema:
Denotemos el número de estacas a lo largo como \( L \) y el número de estacas a lo ancho como \( W \). El problema nos dice que las estacas a lo largo y a lo ancho están en una relación de 3 a 2, entonces podemos escribir eso como una proporción:
\[ L = \frac{3}{2}W \]
El número total de estacas que se necesitan para un intento es \( L \times W \). En el primer intento, él necesita 174 estacas más de las que tiene, lo cual podemos escribir como:
\[ L \times W = \text{número total de estacas} + 174 \]
En el segundo intento, el agricultor decide usar 3 estacas menos a lo largo y 2 menos a lo ancho, lo que nos da \( L - 3 \) y \( W - 2 \). Con esta configuración le sobran 96 estacas, así que tenemos:
\[ (L - 3) \times (W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \]
Pero sabemos que \( L = \frac{3}{2}W \), entonces reemplazamos \( L \) en las ecuaciones arriba mencionadas:
\[ \frac{3}{2}W \times W = \text{número total de estacas} + 174 \]
\[ \left(\frac{3}{2}W - 3\right) \times (W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \]
Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar \( W \) y luego \( L \).
Multiplicando la primera ecuación y simplificándola obtenemos:
\[ \frac{3}{2}W^2 = \text{número total de estacas} + 174 \tag{1} \]
Multiplicando y simplificando la segunda ecuación:
\[ \left(\frac{3}{2}W - 3\right)(W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \]
\[ \frac{3}{2}W^2 - 3W - \frac{3}{2}W \times 2 + 6 = \text{número total de estacas} - 96 \]
\[ \frac{3}{2}W^2 - 6W + 6 = \text{número total de estacas} - 96 \tag{2} \]
Ahora tomamos la ecuación (1) y restamos la ecuación (2):
\[ \frac{3}{2}W^2 - \left(\frac{3}{2}W^2 - 6W + 6\right) = (174 + 96) \]
\[ 6W - 6 = 270 \]
\[ 6W = 270 + 6 \]
\[ 6W = 276 \]
\[ W = 46 \]
Ahora, reemplazamos el valor de \( W \) en \( L = \frac{3}{2}W \):
\[ L = \frac{3}{2} \times 46 \]
\[ L = 3 \times 23 \]
\[ L = 69 \]
Finalmente, calculamos el número total de estacas que el agricultor tenía originalmente:
\[ L \times W = \text{número total de estacas} + 174 \]
\[ 69 \times 46 = \text{número total de estacas} + 174 \]
\[ 3174 = \text{número total de estacas} + 174 \]
\[ \text{número total de estacas} = 3174 - 174 \]
\[ \text{número total de estacas} = 3000 \]
Por lo tanto, el número total de estacas disponibles es 3000, que corresponde a la opción C.
