Solving a Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
<p>Se nos da la ecuación diferencial lineal no homogénea:</p>
\[ a y'' + b y' + cy = e^{kx} \]
<p>y la ecuación auxiliar asociada:</p>
\[ am^2 + bm + c = 0 \]
<p>Para a), se pide demostrar que si \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar, entonces existe una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \).</p>
<p>Para encontrar \( A \), sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial original:</p>
\[ a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \]
\[ aAk^2e^{kx} + bAke^{kx} + cAe^{kx} = e^{kx} \]
<p>Agrupamos los términos semejantes:</p>
\[ e^{kx}(aAk^2 + bAk + cA) = e^{kx} \]
<p>Igualamos los coeficientes de \( e^{kx} \):</p>
\[ aAk^2 + bAk + cA = 1 \]
<p>Despejamos \( A \):</p>
\[ A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \]
<p>Dado que \( k \) no es raíz de la ecuación auxiliar \( am^2 + bm + c = 0 \), significa que \( ak^2 + bk + c \neq 0 \), por lo que \( A \) está bien definido y existe una solución particular de la forma dada. Esto demuestra la afirmación.</p>
