Example Question - exponential non-homogeneous term

Solving a Differential Equation with an Exponential Non-Homogeneous Term

<p>Sustituya \(y_p = Ae^{kx}\) en la ecuación diferencial \(ay'' + by' + cy = e^{kx}\).</p> <p>Encontrando las derivadas de \(y_p\):</p> <p>\(y_p' = Ake^{kx}\)</p> <p>\(y_p'' = Ak^2e^{kx}\)</p> <p>Sustituyendo en la ecuación diferencial:</p> <p>\(a(Ak^2e^{kx}) + b(Ake^{kx}) + c(Ae^{kx}) = e^{kx}\)</p> <p>Factorizando \(Ae^{kx}\):</p> <p>\(Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx}\)</p> <p>Como \(e^{kx} \neq 0\), podemos dividir ambos lados de la ecuación por \(e^{kx}\):</p> <p>\(A(ak^2 + bk + c) = 1\)</p> <p>Resolviendo para \(A\):</p> <p>\(A = \frac{1}{ak^2 + bk + c}\)</p> <p>Dado que \(k\) no es una raíz de la ecuación auxiliar \(am^2 + bm + c = 0\), \(ak^2 + bk + c \neq 0\).</p> <p>Por tanto, \(A\) está bien definido y la solución particular \(y_p = Ae^{kx}\) es válida.</p>