Example Question - non-root
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Solving a Differential Equation Given Non-Root Constraint
<p>Para resolver este problema, necesitamos trabajar con la ecuación diferencial y la ecuación auxiliar dadas.</p> <p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\( ay'' + by' + cy = e^{kx} \)</p> <p>La ecuación auxiliar asociada es:</p> <p>\( am^2 + bm + c = 0 \)</p> <p>Dado que \(k\) no es una raíz de la ecuación auxiliar, podemos intentar encontrar una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \).</p> <p>Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial:</p> <p>\( a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)</p> <p>Diferenciando encontramos:</p> <p>\( (Ae^{kx})' = Ak e^{kx} \)</p> <p>\( (Ae^{kx})'' = A k^2 e^{kx} \)</p> <p>Sustituyendo las derivadas de vuelta en la ecuación original:</p> <p>\( a(Ak^2e^{kx}) + b(Ake^{kx}) + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)</p> <p>Sacamos factor común \( Ae^{kx} \):</p> <p>\( Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx} \)</p> <p>Cancelamos \( e^{kx} \) en ambos lados y resolvemos para \( A \):</p> <p>\( A(ak^2 + bk + c) = 1 \)</p> <p>\( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \)</p> <p>Por lo tanto, hemos encontrado una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \), donde \( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \), siempre que \( k \) no sea raíz de la ecuación auxiliar.</p>
Demonstration of Particular Solution to a Differential Equation
<p>Para demostrar que se puede encontrar una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{kx} \) para la ecuación diferencial \( ay'' + by' + cy = e^{kx} \), asumimos que \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar homogénea \( am^2 + bm + c = 0 \).</p> <p>Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial dada:</p> <p>\( a(Ae^{kx})'' + b(Ae^{kx})' + c(Ae^{kx}) = e^{kx} \)</p> <p>\( aAe^{kx}k^2 + bAe^{kx}k + cAe^{kx} = e^{kx} \)</p> <p>Ahora factorizamos \( Ae^{kx} \) y comparamos los coeficientes:</p> <p>\( Ae^{kx}(ak^2 + bk + c) = e^{kx} \)</p> <p>Como \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar, \( ak^2 + bk + c \neq 0 \). Por lo tanto, podemos despejar \( A \):</p> <p>\( A = \frac{1}{ak^2 + bk + c} \)</p> <p>Esto completa la demostración, mostrando que \( A \) tiene el valor indicado y que \( y_p = Ae^{kx} \) es una solución particular válida de la ecuación diferencial dada cuando \( k \) no es una raíz de la ecuación auxiliar homogénea.</p>
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