Example Question - rationalize denominator
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying a Mathematical Expression Involving Square Roots
Claro, podemos simplificar la expresión matemática que se muestra en la imagen. Lo que necesitamos hacer es operar el número fuera de la raíz con la raíz cuadrada de la fracción. La expresión es: \( 2100 \sqrt{\frac{10}{3}} \) Primero, vamos a simplificar la raíz cuadrada de la fracción. Una raíz cuadrada puede ser distribuida sobre el numerador y el denominador de la fracción. Así que tenemos: \( 2100 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \) Sabiendo que la raíz cuadrada de 1 es 1 y la raíz cuadrada de 3 es simplemente \( \sqrt{3} \), podemos reescribir la expresión como: \( 2100 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \) Multiplicamos 2100 por \( \sqrt{10} \). Pero antes de hacerlo, para simplificar nuestra operación con \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), debemos racionalizar el denominador. Racionalizar el denominador significa eliminar la raíz cuadrada del denominador. Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por \( \sqrt{3} \): \( \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) Ahora multiplicamos esta expresión por \( 2100 \cdot \sqrt{10} \): \( 2100 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \) Podemos simplificar \( 2100 / 3 \), lo cual es 700. Por tanto, la expresión se convierte en: \( 700 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{3} \) Finalmente, multiplicamos \( \sqrt{10} \) y \( \sqrt{3} \) juntos para obtener \( \sqrt{30} \). Así que la expresión simplificada es: \( 700 \cdot \sqrt{30} \) Esta es la forma simplificada de la expresión original.
Solving a Complex Inequality Involving Square Roots
Chúng ta cần giải bất phương trình sau: \[ \frac{10\sqrt{x}}{x + 3\sqrt{x} - 4} > \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 4} + \frac{\sqrt{x} + 1}{1 - \sqrt{x}} \] Giả sử rằng \( x \geq 0; x \neq 1 \) như điều kiện của bài toán. Ta tiến hành giải bất phương trình: Đầu tiên, chúng ta phải quy đồng mẫu thức của cả hai vế. Nhưng trước tiên, chú ý rằng mẫu thức \( x + 3\sqrt{x} - 4 \) có thể phân tích như sau: \[ x + 3\sqrt{x} - 4 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4) \] Bây giờ chúng ta hãy quy đồng mẫu thức và thực hiện tính toán: \[ \frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)} - \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 4} - \frac{\sqrt{x} + 1}{1 - \sqrt{x}} \] Chú ý rằng ở phần thứ hai và thứ ba của bất phương trình, mẫu số có thể tính chung là \((\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})\). Vậy chúng ta có: \[ \frac{10\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} - \frac{(2\sqrt{x} - 3)(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} - \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} \] Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ những yếu tố chung ở mẫu số và đồng nhất mẫu số của tất cả các phân thức. Mẫu chung cuối cùng sẽ là (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x}), mà thực chất chỉ là \((\sqrt{x} - 1)^2(\sqrt{x} + 4)\) sau khi loại bỏ được yếu tố chung \( (1 - \sqrt{x}) \) ở mẫu thức đầu tiên và cuối cùng. Sau khi loại bỏ mẫu số chung này, bất phương trình trở thành phương trình với tử số và ta sẽ cần phải giải những biểu thức còn lại ở tử số. Bạn cần lưu ý kiểm tra điều kiện xác định của bất phương trình khi giải các biểu thức ở tử số để đảm bảo không có giá trị nào làm cho mẫu số bằng không. Ví dụ, \(\sqrt{x} - 1 = 0\) hay \(\sqrt{x} + 4 = 0\) không thể xảy ra vì \(\sqrt{x} \neq 1\) và \(\sqrt{x}\) không thể âm. Hãy thực hiện tiếp việc giải bất phương trình bằng cách mở rộng và thu gọn các biểu thức. Bạn có thể tiếp tục làm điều này bằng cách sử dụng đại số để tìm ra tập hợp nghiệm của \( x \).
Simplifying Root Expressions
D'après l'image, nous devons résoudre une expression fractionnaire enracinée. L'expression semble être : √(6x^2) / √(3x) Pour simplifier cette expression, nous pouvons diviser les deux termes sous les signes de racine. Puisque √(a/b) = √a / √b, l'expression restera la même. Nous pouvons alors simplifier individuellement chaque racine. La racine carrée de 6x^2 est √(6x^2) = √6 * √x^2. La racine carrée de x^2 est simplement x, donc √(6x^2) = √6 * x. La racine carrée de 3x est √(3x) = √3 * √x. Maintenant, nous pouvons diviser les deux expressions: (√6 * x) / (√3 * √x) Quand on divise des racines carrées, on peut également diviser leurs contenus. Ainsi, √6 / √3 = √(6/3) = √2. De plus, nous avons x / √x. Pour simplifier cela, nous savons que √x est la racine carrée de x, donc x / √x = √x. Finalement, notre expression simplifiée est : √2 * √x = √(2x) Voilà, l'expression √(6x^2) / √(3x) simplifiée est √(2x).
Solving a Quadratic Equation with Radicals
The given equation is: \[ x - \sqrt{3}x - 4 = 0 \] To solve this equation for \( x \), first combine like terms and isolate the \( x \)-terms on one side: \[ x - \sqrt{3}x = 4 \] Combine the \( x \) terms together by factoring out \( x \): \[ x(1 - \sqrt{3}) = 4 \] Next, divide both sides of the equation by \( (1 - \sqrt{3}) \) to solve for \( x \): \[ x = \frac{4}{1 - \sqrt{3}} \] To rationalize the denominator, multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator: \[ x = \frac{4}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \] \[ x = \frac{4 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \] \[ x = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{1 - 3} \] \[ x = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{-2} \] Divide both terms in the numerator by the denominator: \[ x = \frac{4}{-2} + \frac{4\sqrt{3}}{-2} \] \[ x = -2 - 2\sqrt{3} \] So, the solution to the equation is: \[ x = -2 - 2\sqrt{3} \]
Solving Expression with Reciprocal
To solve the expression x + \(\frac{1}{x}\) given that \(x = 2 + \sqrt{3}\), first find the reciprocal of x and then add it to x. Given \(x = 2 + \sqrt{3}\), the reciprocal, \(\frac{1}{x}\), can be calculated as follows: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \] To rationalize the denominator, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \] Now, apply the difference of squares to the denominator: \[ \frac{1}{x} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3} \] Now, add x to \(\frac{1}{x}\): \[ x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) \] When you combine the terms, the \(\sqrt{3}\) terms will cancel out: \[ x + \frac{1}{x} = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 2 + 2 = 4 \] So, \(x + \frac{1}{x}\) is equal to 4.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com