Question - Probability of Selecting 2 Sotas and 2 Reyes from a Deck of Spanish Cards
Solution:
Para resolver esta pregunta, necesitaremos aplicar combinaciones, ya que el orden en el que elegimos las cartas no importa y estamos eligiendo sin reemplazo del conjunto de cartas en el mazo.La pregunta pide la probabilidad de seleccionar exactamente 2 sotas y 2 reyes al sacar 4 cartas de un mazo de 48 cartas españolas. En un mazo español, hay normalmente 2 sotas y 2 reyes de cada palo, lo cual significa que hay 4 sotas y 4 reyes en total.Primero, calculamos la cantidad de maneras de seleccionar 2 sotas de las 4 disponibles:\[ C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \]Luego, calculamos la cantidad de maneras de seleccionar 2 reyes de los 4 disponibles:\[ C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \]Ahora, necesitamos calcular la cantidad total de maneras de seleccionar 4 cartas cualesquiera del mazo de 48 cartas:\[ C(48,4) = \frac{48!}{4!(48-4)!} \]Realicemos la simplificación del factorial:\[ \frac{48!}{4!(48-4)!} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]Calculamos este número:\[ \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45}{24} = 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot \frac{45}{24} \]\[ = 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot \frac{45}{24} \]\[ = 2 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \]\[ = 94 \cdot 46 \cdot 45 \]Ahora, la probabilidad será el producto de las maneras de escoger las sotas y los reyes dividido por el número total de maneras de seleccionar 4 cartas:Probabilidad = $$\frac{C(4,2) \cdot C(4,2)}{C(48,4)}$$ $$= \frac{6 \cdot 6}{94 \cdot 46 \cdot 45}$$Al simplificar esta expresión obtendremos la probabilidad deseada.Para simplificar la fracción, podemos cancelar factores comunes y llegar a la probabilidad más reducida posible. No obstante, sin una calculadora, el proceso requiere aritmética manual, que podría ser tediosa, pero nos daría el valor de la probabilidad como una fracción simplificada.
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