Question - Probability Calculations with Different Scenarios
Solution:
Claro, vamos a calcular la probabilidad en cada escenario dado:a) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas, con reposición: Para esto, calculamos la probabilidad de sacar una bola roja y luego, como hay reposición, la probabilidad de sacar otra vez una bola roja es la misma.Hay 4 bolas rojas y el total de las bolas es 24, entonces la probabilidad de sacar una bola roja es $$ \frac{4}{24} $$ o $$ \frac{1}{6} $$.Como hay reposición, la probabilidad de sacar una segunda bola roja es igual a la probabilidad de sacar la primera: $$ \frac{1}{6} $$.Entonces, multiplicamos la probabilidad de cada evento independiente:$$ P(\text{roja y luego roja con reposición}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$.b) La probabilidad de que las dos bolas sean azules, sin reposición: Para esto calculamos la probabilidad de sacar una bola azul y luego, sin reposición, la probabilidad de sacar otra bola azul habiendo ya una menos en la bolsa.Hay 7 bolas azules inicialmente y el total de las bolas es 24, entonces la probabilidad de sacar una bola azul es $$ \frac{7}{24} $$.Cuando sacamos una y no la reponemos, quedan $$ 7 - 1 = 6 $$ bolas azules y $$ 24 - 1 = 23 $$ bolas en total, entonces la probabilidad de sacar otra bola azul es $$ \frac{6}{23} $$.Multiplicamos las dos probabilidades:$$ P(\text{azul y luego azul sin reposición}) = \frac{7}{24} \times \frac{6}{23} = \frac{42}{552} $$.Simplificando esta fracción, la dividimos entre 6 (tanto el numerador como el denominador):$$ \frac{42}{552} = \frac{7}{92} $$.c) La probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda verde, con reposición: Aqui también tomamos las probabilidades individuales y las multiplicamos, pero con reposición.Probabilidad de extraer una azul: $$ \frac{7}{24} $$.Como hay reposición, la probabilidad de sacar una verde después es independiente y es $$ \frac{8}{24} $$ o $$ \frac{1}{3} $$.Multiplicamos ambas probabilidades:$$ P(\text{azul y luego verde con reposición}) = \frac{7}{24} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{72} $$.d) La probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda negra, sin reposición: Calculamos primero la probabilidad de sacar una bola roja, seguida de la probabilidad de sacar una bola negra sin reposición.Probabilidad de extraer una roja: $$ \frac{4}{24} $$ o $$ \frac{1}{6} $$.Al sacar una y no reponerla, quedan $$ 24 - 1 = 23 $$ bolas en total. Como hay 8 bolas verdes y $$ 24 - 4 - 7 - 8 = 5 $$ bolas negras, la probabilidad de una negra ahora es $$ \frac{5}{23} $$.Multiplicamos ambas probabilidades:$$ P(\text{rojo y luego negro sin reposición}) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{23} = \frac{5}{138} $$.Estos son los cálculos de las probabilidades para cada escenario propuesto en el problema.
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