Question - Odd Square Numbers: Proof and Counterexample
Solution:
Die Übungsaufgabe beschäftigt sich mit der Größe von ungeraden Quadratzahlen. Es gibt zwei Behauptungen:1. Ungerade Quadratzahlen sind immer 1 größer als ein Vielfaches von 4.2. Ungerade Quadratzahlen sind immer 1 größer als ein Vielfaches von 8.Um die erste Aussage zu beweisen, kann man annehmen, dass $$ n $$ eine ungerade Zahl ist, also kann $$ n $$ als $$ 2k + 1 $$ ausgedrückt werden, wobei $$ k $$ eine ganze Zahl ist. Wenn man $$ n $$ quadriert, erhält man:$$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 $$Hier sieht man, dass $$ 4k^2 + 4k $$ ein Vielfaches von 4 ist, da beide Terme ( $$ 4k^2 $$ und $$ 4k $$ ) durch 4 teilbar sind. Wenn man 1 hinzufügt, ist das Ergebnis also 1 größer als ein Vielfaches von 4.Für die zweite Aussage muss gezeigt werden, dass dieses Quadrat auch 1 größer als ein Vielfaches von 8 ist. Hier kann es jedoch zu einem Problem kommen, da dies nicht immer der Fall ist. Wenn $$ k $$ gerade ist, ist $$ 4k^2 + 4k $$ tatsächlich durch 8 teilbar (denn dann ist auch $$ k $$ ein Vielfaches von 2 und $$ 4k $$ ist somit ein Vielfaches von 8), und die Addition von 1 ergibt tatsächlich eine Zahl, die 1 größer ist als ein Vielfaches von 8. Aber wenn $$ k $$ ungerade ist, ist der Ausdruck $$ 4k^2 + 4k $$ selbst schon 4 größer als ein Vielfaches von 8 (weil $$ 4k $$ dann nur ein Vielfaches von 4, aber nicht von 8 ist), und durch das Hinzufügen von 1 erhalten wir eine Zahl, die 5 größer ist als ein Vielfaches von 8, was die zweite Behauptung widerlegt.Versuchen wir ein symbolischen Beweis für die zweite Behauptung:$$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 8k^2/2 + 8k/2 + 1 $$Wenn $$ k $$ gerade ist, sagen wir $$ k = 2m $$, dann ist das Quadrat$$ n^2 = 8m^2 + 8m + 1 $$Und das ist tatsächlich 1 größer als ein Vielfaches von 8. Aber wenn $$ k $$ ungerade ist, also $$ k = 2m + 1 $$ für irgendeine ganze Zahl $$ m $$, dann haben wir:$$ n^2 = 4(2m + 1)^2 + 4(2m + 1) + 1 = 8m^2 + 8m + 4 + 4m + 4 + 1 = 8m^2 + 12m + 9 $$Da $$ 12m $$ immer ein Vielfaches von 8 ist, egal ob $$ m $$ gerade oder ungerade ist, ist das Problem der mittlere Term $$ 8m^2 + 9 $$. Da $$ 8m^2 $$ immer ein Vielfaches von 8 ist, hängt es vom Wert von $$ 9 $$ ab, welches 1 größer ist als ein Vielfaches von 8. Aber da wir $$ 12m $$ hinzufügen (ein Vielfaches von 8), kann das Gesamtergebnis nicht immer 1 größer sein als ein Vielfaches von 8, wenn $$ m $$ ungerade ist. Daher ist die zweite Behauptung nicht generell wahr.Fazit: Die erste Behauptung ist wahr, aber die zweite Behauptung ist falsch.
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