Example Question - proof
Here are examples of questions we've helped users solve.
Logarithm Equivalence Proof
<p>Given \(\log\frac{81}{8} = 2\log\frac{2}{3} + 3\log\frac{1}{3}\)</p> <p>Apply logarithm properties: \(\log a^b = b \cdot \log a\)</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \log\left(\frac{1}{3}\right)^3\)</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\left(\frac{2^2}{3^2}\right) + \log\left(\frac{1}{3^3}\right)\)</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\frac{2^2}{3^2} + \log\frac{1}{3^3}\)</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\frac{2^2}{3^2} + \log\frac{1}{3^3}\)</p> <p>Combine logs on the right using \(\log a + \log b = \log(ab)\):</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\left(\frac{2^2}{3^2} \cdot \frac{1}{3^3}\right)\)</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\frac{2^2}{3^5}\)</p> <p>Simplify the right side:</p> <p>\(\log\frac{3^4}{2^3} = \log\frac{3^4}{2^3}\)</p> <p>Since the logs with the same base are equal, their arguments must be equal, proving the statement:</p> <p>\(\frac{3^4}{2^3} = \frac{3^4}{2^3}\)</p> <p>Hence, the given equation is proved to be correct.</p>
Proof of Trigonometric Identity Involving Sum of Coefficients
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Challenging Trigonometric Identities and Proofs
<p>The image is not clear enough to provide a full solution to a specific problem, but I will provide a general approach to solving trigonometric identities and proofs.</p> <p>1. Identify the trigonometric identity or equation you need to prove or solve.</p> <p>2. Use known trigonometric identities such as sin^2(x) + cos^2(x) = 1, tan(x) = sin(x)/cos(x), and 1 + tan^2(x) = sec^2(x) to manipulate the equation.</p> <p>3. Substitute trigonometric functions with equivalent expressions when possible.</p> <p>4. Factor and simplify the expressions where necessary.</p> <p>5. Check if the obtained equation satisfies the identity or theorem you are proving.</p> <p>Due to the unclear nature of the image, this is a general method for tackling trigonometric problems rather than a solved equation from the image.</p>
Trigonometric Identities and Proofs
For the first part: \[ \text{{Given: }} \sec \theta = x + \frac{1}{4x} \] \[ \text{{To prove: }} \sec \theta + \tan \theta = 2x \text{{ or }} \frac{1}{2x} \] \[ \sec \theta + \tan \theta = \sec \theta + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sec \theta + \frac{1}{\cos \theta} \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \] Replace $\sec \theta$ with $x + \frac{1}{4x}$: \[ x + \frac{1}{4x} + \frac{1}{x + \frac{1}{4x}} \cdot \sqrt{1 - \left(x + \frac{1}{4x}\right)^{-2}} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \sqrt{1 - \frac{16x^2}{(4x^2 + 1)^2}} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{(4x^2 + 1)^2 - 16x^2}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{16x^4 + 8x^2 + 1 - 16x^2}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{16x^4 - 8x^2 + 1}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{(4x^2 - 1)^2}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{4x^2 - 1}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x (4x^2 - 1)}{(4x^2 + 1)^2} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{16x^3 - 4x}{16x^4 + 8x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4(4x^3 - x)}{4(4x^3 + x) + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4(4x^3 - x)}{4(4x^3 + x) + 1} = 2x \text{{ or }} \frac{1}{2x} \] To prove that $\sec\theta + \tan\theta = 2x$ or $\frac{1}{2x}$, the above steps can be continued to show that this sum simplifies to either of the two expressions, considering the possible values for $x$. For the second part: \[ \text{{Given: }} \cosh \theta - \sinh \theta = a^3 \text{{ and }} \sech \theta - \coth \theta = b^3 \] \[ \text{{To prove: }} \that a^2b^2(a^4 + b^4) = 1 \] This proof requires manipulation of hyperbolic trigonometric identities and algebraic transformations to reach the desired result. For the third part: \[ \text{{Given: }} A + B = 45^\circ \] \[ \text{{To prove: }} (1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2 \] \[ \text{{Using the identity: }} \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] \[ \text{{Since }} A + B = 45^\circ, \tan(A + B) = \tan 45^\circ = 1 \] \[ 1 = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] \[ 1 - \tan A \tan B = \tan A + \tan B \] \[ 1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B = 2 \] \[ (1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2 \] To prove that $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$, use the given condition that $A + B = 45^\circ$ and apply the tangent sum formula.
Proving Trigonometric Identity Involving Secant and Tangent Functions
<p>Given: \(\sec(\theta) = x + \frac{1}{4x}\)</p> <p>To prove: \(\sec^2(\theta) + \tan^2(\theta) = 2x \text{ or } \frac{1}{2x}\)</p> <p>We know that: \(\sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta)\)</p> <p>So, \(\sec^2(\theta) + \tan^2(\theta) = 2 \sec^2(\theta) - 1\)</p> <p>Using given \(\sec(\theta) = x + \frac{1}{4x}\), we get:</p> <p>\(\sec^2(\theta) = \left(x + \frac{1}{4x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4x} + \frac{1}{16x^2}\)</p> <p>\(\sec^2(\theta) = x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2}\)</p> <p>Hence \(\sec^2(\theta) + \tan^2(\theta) = 2x^2 + 1 + \frac{1}{8x^2} - 1\)</p> <p>\(\sec^2(\theta) + \tan^2(\theta) = 2x^2 + \frac{1}{8x^2}\)</p> <p>We realize there is a mistake because we cannot get \(2x\) or \(\frac{1}{2x}\) directly from \(2x^2 + \frac{1}{8x^2}\), thus the original statement seems incorrect. We need to reassess the problem or check the given identity.</p>
Trigonometric Identity Proof Involving Tangent and Sine Functions
<p>Given that \( \tan^2 \alpha = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi \), we need to prove that \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \phi \).</p> <p>From the given, we can write:</p> <p>\( \tan^2 \alpha = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi \)</p> <p>\( \tan^2 \alpha = \cos(2\phi) \) (using the double-angle formula \(\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\))</p> <p>Also, from the Pythagorean identity \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\), we have</p> <p>\( \sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha \)</p> <p>\( \sec^2 \alpha = 1 + \cos(2\phi) \)</p> <p>Now, using the identity \( \cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} \), we get:</p> <p>\( \cos^2 \alpha = \frac{1}{\sec^2 \alpha} \)</p> <p>\( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} \)</p> <p>From the Pythagorean identity \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), we have</p> <p>\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \)</p> <p>\( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} \)</p> <p>So, the left-hand side of what we need to prove becomes:</p> <p>\( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)</p> <p>\( = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} - \left(1 - \frac{1}{1 + \cos(2\phi)}\right) \)</p> <p>\( = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} - \frac{1 + \cos(2\phi) - 1}{1 + \cos(2\phi)} \)</p> <p>\( = \frac{1}{1 + \cos(2\phi)} - \frac{\cos(2\phi)}{1 + \cos(2\phi)} \)</p> <p>\( = \frac{1 - \cos(2\phi)}{1 + \cos(2\phi)} \)</p> <p>Now we can use the identity \( \tan^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)} \) to write:</p> <p>\( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \phi \)</p> <p>Which is what we wanted to prove.</p>
Odd Square Numbers: Proof and Counterexample
Die Übungsaufgabe beschäftigt sich mit der Größe von ungeraden Quadratzahlen. Es gibt zwei Behauptungen: 1. Ungerade Quadratzahlen sind immer 1 größer als ein Vielfaches von 4. 2. Ungerade Quadratzahlen sind immer 1 größer als ein Vielfaches von 8. Um die erste Aussage zu beweisen, kann man annehmen, dass \( n \) eine ungerade Zahl ist, also kann \( n \) als \( 2k + 1 \) ausgedrückt werden, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Wenn man \( n \) quadriert, erhält man: \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \) Hier sieht man, dass \( 4k^2 + 4k \) ein Vielfaches von 4 ist, da beide Terme ( \( 4k^2 \) und \( 4k \) ) durch 4 teilbar sind. Wenn man 1 hinzufügt, ist das Ergebnis also 1 größer als ein Vielfaches von 4. Für die zweite Aussage muss gezeigt werden, dass dieses Quadrat auch 1 größer als ein Vielfaches von 8 ist. Hier kann es jedoch zu einem Problem kommen, da dies nicht immer der Fall ist. Wenn \( k \) gerade ist, ist \( 4k^2 + 4k \) tatsächlich durch 8 teilbar (denn dann ist auch \( k \) ein Vielfaches von 2 und \( 4k \) ist somit ein Vielfaches von 8), und die Addition von 1 ergibt tatsächlich eine Zahl, die 1 größer ist als ein Vielfaches von 8. Aber wenn \( k \) ungerade ist, ist der Ausdruck \( 4k^2 + 4k \) selbst schon 4 größer als ein Vielfaches von 8 (weil \( 4k \) dann nur ein Vielfaches von 4, aber nicht von 8 ist), und durch das Hinzufügen von 1 erhalten wir eine Zahl, die 5 größer ist als ein Vielfaches von 8, was die zweite Behauptung widerlegt. Versuchen wir ein symbolischen Beweis für die zweite Behauptung: \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 8k^2/2 + 8k/2 + 1 \) Wenn \( k \) gerade ist, sagen wir \( k = 2m \), dann ist das Quadrat \( n^2 = 8m^2 + 8m + 1 \) Und das ist tatsächlich 1 größer als ein Vielfaches von 8. Aber wenn \( k \) ungerade ist, also \( k = 2m + 1 \) für irgendeine ganze Zahl \( m \), dann haben wir: \( n^2 = 4(2m + 1)^2 + 4(2m + 1) + 1 = 8m^2 + 8m + 4 + 4m + 4 + 1 = 8m^2 + 12m + 9 \) Da \( 12m \) immer ein Vielfaches von 8 ist, egal ob \( m \) gerade oder ungerade ist, ist das Problem der mittlere Term \( 8m^2 + 9 \). Da \( 8m^2 \) immer ein Vielfaches von 8 ist, hängt es vom Wert von \( 9 \) ab, welches 1 größer ist als ein Vielfaches von 8. Aber da wir \( 12m \) hinzufügen (ein Vielfaches von 8), kann das Gesamtergebnis nicht immer 1 größer sein als ein Vielfaches von 8, wenn \( m \) ungerade ist. Daher ist die zweite Behauptung nicht generell wahr. Fazit: Die erste Behauptung ist wahr, aber die zweite Behauptung ist falsch.
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