Odd Square Numbers: Proof and Counterexample
Die Übungsaufgabe beschäftigt sich mit der Größe von ungeraden Quadratzahlen. Es gibt zwei Behauptungen:
1. Ungerade Quadratzahlen sind immer 1 größer als ein Vielfaches von 4.
2. Ungerade Quadratzahlen sind immer 1 größer als ein Vielfaches von 8.
Um die erste Aussage zu beweisen, kann man annehmen, dass \( n \) eine ungerade Zahl ist, also kann \( n \) als \( 2k + 1 \) ausgedrückt werden, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Wenn man \( n \) quadriert, erhält man:
\( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \)
Hier sieht man, dass \( 4k^2 + 4k \) ein Vielfaches von 4 ist, da beide Terme ( \( 4k^2 \) und \( 4k \) ) durch 4 teilbar sind. Wenn man 1 hinzufügt, ist das Ergebnis also 1 größer als ein Vielfaches von 4.
Für die zweite Aussage muss gezeigt werden, dass dieses Quadrat auch 1 größer als ein Vielfaches von 8 ist. Hier kann es jedoch zu einem Problem kommen, da dies nicht immer der Fall ist. Wenn \( k \) gerade ist, ist \( 4k^2 + 4k \) tatsächlich durch 8 teilbar (denn dann ist auch \( k \) ein Vielfaches von 2 und \( 4k \) ist somit ein Vielfaches von 8), und die Addition von 1 ergibt tatsächlich eine Zahl, die 1 größer ist als ein Vielfaches von 8. Aber wenn \( k \) ungerade ist, ist der Ausdruck \( 4k^2 + 4k \) selbst schon 4 größer als ein Vielfaches von 8 (weil \( 4k \) dann nur ein Vielfaches von 4, aber nicht von 8 ist), und durch das Hinzufügen von 1 erhalten wir eine Zahl, die 5 größer ist als ein Vielfaches von 8, was die zweite Behauptung widerlegt.
Versuchen wir ein symbolischen Beweis für die zweite Behauptung:
\( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 8k^2/2 + 8k/2 + 1 \)
Wenn \( k \) gerade ist, sagen wir \( k = 2m \), dann ist das Quadrat
\( n^2 = 8m^2 + 8m + 1 \)
Und das ist tatsächlich 1 größer als ein Vielfaches von 8. Aber wenn \( k \) ungerade ist, also \( k = 2m + 1 \) für irgendeine ganze Zahl \( m \), dann haben wir:
\( n^2 = 4(2m + 1)^2 + 4(2m + 1) + 1 = 8m^2 + 8m + 4 + 4m + 4 + 1 = 8m^2 + 12m + 9 \)
Da \( 12m \) immer ein Vielfaches von 8 ist, egal ob \( m \) gerade oder ungerade ist, ist das Problem der mittlere Term \( 8m^2 + 9 \). Da \( 8m^2 \) immer ein Vielfaches von 8 ist, hängt es vom Wert von \( 9 \) ab, welches 1 größer ist als ein Vielfaches von 8. Aber da wir \( 12m \) hinzufügen (ein Vielfaches von 8), kann das Gesamtergebnis nicht immer 1 größer sein als ein Vielfaches von 8, wenn \( m \) ungerade ist. Daher ist die zweite Behauptung nicht generell wahr.
Fazit: Die erste Behauptung ist wahr, aber die zweite Behauptung ist falsch.
